河北平山中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题

**基本信息** 高一年级数学期末卷以传统文化（《九章算术》选书抽样）、数学史（冰雹猜想、阿基米德多面体）为情境，覆盖立体几何、统计概率等核心知识，通过分层设问（如算盘概率分步求解）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面关系、直观图、分层抽样、三角形构成概率|结合直观图（图2）考查空间观念| |多选题|3/18|方差计算、百分位数、互斥与独立事件|多角度辨析统计与概率概念| |填空题|3/15|分层抽样人数、方差新增数据计算、球表面积|阿基米德多面体体现数学审美| |解答题|5/77|频率分布直方图、统计与方差、立体几何证明与角度、算盘概率、翻折问题|算盘概率（第18题）融合文化与数学建模，翻折问题（第19题）考查空间想象与推理|

《高一年级数学学科期末试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C B A C AD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理及性质，逐一判断即可． 【详解】对于A，若 ， ，， ，若与相交，则；若，则，或与相交，故A错误； 对于B，若，，若，则；若，则与不平行，故B错误； 对于C，若，，，则与可能垂直、斜交或平行，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确． 2．A 【分析】利用斜二测画法中的原图形与直观图之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意可知，，， 将直观图还原后如图， 则，，. 故选：A 3．C 【分析】根据分层抽样的方法，列式计算，即可求解． 【详解】选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有． 故选：C． 4．C 【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可. 【详解】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个， 即， 其中能构成三角形的基本事件有3个，即， 故所求概率. 故选：C. 5．C 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 6．B 【分析】利用平均数为2得，由得，最后计算中位数即可. 【详解】由题，得，因为， 所以或或， 所以当该组数据为：，中位数为2， 当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2， 故选：B. 7．A 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故选：A. 8．C 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式计算即可. 【详解】设正四棱台上底边长为，则侧棱长，下底边长， 设正四棱台的斜高为，高为， 则一个侧面积为，所以， 又因为在正四棱台中，，即，解得， 所以， 所以. 9．AD 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据方差为8，可求得新数据的标准差即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以 ， 又 所以，所以，所以该组数据的平均数是3， 这组样本数据的总和为，故A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为， 则，故C错误； 对于D，样本数据的方差为8，故数据的标准差为，故D正确. 故选：AD 10．ACD 【分析】根据互斥事件的加法公式，事件的运算，独立事件的乘法公式逐一分析每个选项. 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确； B选项，时，，B选项错误； C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确； D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】根据A，P，C三点共线确定点位置，利用直角三角形勾股定理求出棱长即可判断A，找出截面图形为矩形，求出面积判断B，分析出点Q的轨迹为线段，再确定 时，CQ 取得最小值，解三角即可判断C，利用展开图及余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD 中点，取的中点，连接, 则 解得AD=2， 所以正方体的体积 故A 错误; 对于B，记中点为E，连接， 显然有 故点在上，则截面图形为矩形，又 所以 则截面图形的面积为 故 B正确； 对于C，取 MB中点F，MD中点G，连接FG， 点Q的轨迹为线段 又 所以 因为点G到平面BB₁C₁C的距离为所以 则 ，   所以 均为锐角，故当 时，CQ 取得最小值， 因为， 所以， 故CQ的最小值为 ， 故C正确； 对于D，将 沿BD 向下翻折与平面BDD₁B₁共面，连接 则B₁P+PC的最小值即为线段B₁C的长度，P为 与 BD 的交点，因为 所以由余弦定理得， 则 故 D正确. 12．168 【分析】根据分层抽样的概念列式求解． 【详解】设抽取的学生中男生人数为a，女生人数为b， 则，且，解得a＝96，b＝72， 则被抽取的学生人数是96＋72＝168． 故答案为：168． 13． 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 14． 【分析】本题可先将该多面体补成正方体，利用正方体的棱切球就是多面体的外接球这一关系，求出棱切球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知， 易知，可得， 所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为， 因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为． 故答案为： 15．(1)0.0050 (2)90，122 (3)94 【分析】（1）根据频率之和为1列方程可求出的值. （2）计算中位数及第80百分位数所在的区间，利用中位数和百分位数的定义建立等量关系可计算出结果. （3）根据平均数的概念列式计算可得结果. 【详解】（1）根据频率之和为1可得，， 解得. （2）∵成绩在区间内的频率为：， ∴估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数为90. ∵成绩在区间内的频率为：， 成绩在区间内的频率为：， ∴第80百分位数在区间内，设第80百分位数为， 则，解得， 综上得，中位数为90，第80百分位数为. （3）设这500名学生的这次考试数学成绩的平均数为， 则. 16．(1)平均数为7.3；中位数为. (2)4.3 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式以及中位数的计算公式即可求解， （2）根据方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）， 即男生一周运动时长的平均数为7.3小时； 中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为， 运动时长为的频率为， 所以中位数落在区间内， 由，得到，即中位数为. （2）该班级全体学生一周内运动时长的平均数， 所以该班级全体学生一周内运动时长的方差 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）由（1）易知即为求直线与平面所成的角，结合勾股定理及直角三角形性质可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    由已知为直三棱柱，即平面， 且平面，则， 由，则且，，平面， 平面； （2）由（1）知平面，连结， 即为与平面所成的角， 在中， 由，得，， ， 所以，所以， 即与平面所成的角为. 18．(1)； (2)； 【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求； （2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解. 【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. 由题意要使得组成的三位数能被3整除， 则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以事件发生的概率. 故，. （2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除， 555既能被3整除，又能被5整除， 所以. 因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除， 所以. 故，. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行即可求解； （2）利用线面垂直可得平面，即可证明； （3）利用线面垂直证明平面，即为与平面所成角，即可求解. 【详解】（1）由题可得，平面，平面， 所以平面. （2）由题知：，，分别是，的中点， 所以，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）取中点，连接， 由题，所以为等边三角形，所以，且， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 如图，过作，且，过作，垂足为，连接， 所以，故四边形为矩形， 所以， 又，所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为平面，所以， 所以， 所以平面，故即为与平面所成角， 则 所以. 故与平面所成角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科期末试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 2．如图2，是水平放置的的直观图，，则（ ） 图2 图5 图8 A． B． C． D． 3．某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（   ） A．25 B．30 C．35 D．50 4．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图5，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 7．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分。多选错选不得分，部分选对得部分分） 9．下列说法正确的是（   ） A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D．若样本数据的方差为8，则数据的标准差为 10．设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（   ） A．若是互斥事件，则 B．若则 C．若是相互独立事件，则 D．若，则是相互独立事件 11 ．如图，在正方体中，M为 中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为. 当A，P，C三点共线时， 则（） A．正方体 的体积为64 B．当AB的中点在α上时，截面图形的面积为 C．记MP的中点为Q，CQ的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是________． 13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 14．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为_____________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）某校高二年级500名学生的学考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.   (1)求图中a的值； (2)估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数，第80百分位数； (3)估计这500名学生的这次考试数学成绩的平均数. 16．（15分）为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）. (1)将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数； (2)已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差. 17．（15分）如图所示，在直三棱柱中，，若， (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 18． （17分）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 19．（17分）如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 试题第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $