精品解析：河北保定市博野县部分校联考2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

2025~2026学年度期末考试卷 高一数学 测试模块：必修第二册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的减法运算求解. 【详解】由题意. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两个平面平行 ，平面内任意一条直线都与另一平面无交点，因为 ，所以必有 ,即：由 能推出 ，必要性成立; 已知 ，，, 若直线 ，两条平行线同时平行于平面 ， 此时平面 可以和平面 相交, 故仅 不能推出 ，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件. 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 5. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解. 【详解】如图，连接，因为平面，所以平面， 平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以直线与所成角为（或其补角）， 因为， 所以. 6. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】不超过的质数有共8个， 任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组， 所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种， 从8个质数中任选2个不同的质数有种， 所以，所求概率为. 7. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明平面，可得，其中是的外接圆半径. 【详解】 因为是等边三角形，取的中点为,则 又平面，所以平面 因为平面，所以， 又点分别为棱的中点，且，故， ， 又平面， 所以平面. 设外接圆的圆心为，半径为， 易得，由正弦定理 所以球的半径， 所以球的表面积为.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 10. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则，关于轴对称 C. 若，则 D. 若，且，是关于的方程的两个根（，），则 【答案】BC 【解析】 【详解】若，则，故A错误； 因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确； 若，则，则，故C正确； 由题意得，，则，故D错误. 11. 如图，是边长为2的正六边形的中心，是正六边形边上的动点，则（ ） A. B. C. 的最大值为6 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据正六边形的结构特征及向量加法的几何意义判断，B由向量加法有、，两式相加及A的结论得到与的数量关系判断，C问题化为求在方向上的投影与的乘积最大，进而化为求在上的投影最大，即可判断，D利用向量的性质，将原式化为求的范围. 【详解】A：正六边形的中心为，各边长为，所以， 在正六边形中，向量两两之间的夹角均为， 根据向量加法的几何意义，三个长度相等且两两夹角为的向量之和为零向量， 即，正确， B：根据向量加法的三角形法则，有，， 两式相加得：， 由A知，所以， 代入上式得：， 因为，所以，而不是，错误， C：要使的值最大，即求在方向上的投影与的乘积最大， 因为的长度为，需要让在上的投影最大， 当动点在边上运动时，随着点从移向，在方向上的投影逐渐增大， 当点与点重合时，即， 在正六边形中，是顶角为的等腰三角形，底边，底角， 向量在上的投影长度为， 所以的最大值为，正确， D：对于平面内任意一点和正六边形的中心， 由， 同理 ， 所以 ， 同A分析有， 故原式， 已知中心到各顶点的距离均为，则后一项为，故原式， 当点在边上运动时，的最小值为边心距，此时， 的最大值为半径，此时，因此， 所以原式的取值范围为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 【答案】48 【解析】 【详解】由题意得，，得 13. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得， 所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得； （2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 即， 解得． 【小问2详解】 由题意得， ， 设向量与的夹角为， 则． 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． （1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； （2）求此次比赛进行3局就结束的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得； （2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得. 【小问1详解】 设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件， 则，， ． 【小问2详解】 设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，， 则， 所以 ． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】（1），74.5． （2）平均数为70.5，方差为35 【解析】 【小问1详解】 根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由已知三角等式结合正弦定理化角为边,整理变形凑出余弦定理形式,算出,由得. （2）（ⅰ）代入用三角形面积公式求出边长,再由余弦定理求边,三边相加得周长. （ⅱ）设上线段比例,由同高三角形面积比等于底边比,表示出,乘后用基本不等式求最值,确定的值,先由余弦定理求,再在中用余弦定理算出长. 【小问1详解】 因为 由正弦定理，为外接圆半径. 所以，即， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ），解得． 由余弦定理，得，所以， 所以的周长为． （ⅱ）设，，，，， 所以，则， 所以， 同理可得，所以: ， 当且仅当，即，时等号成立，所以． 又在中，， 在，， 所以． 19. 如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，连接． 在三棱台中，，所以， 又是棱的中点，是线段的中点，所以， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；（2）先找出二面角的平面角，再求解其余弦值；（3）利用等体积法求解 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为，连接，． 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面． 因为平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 又，，， 在中，，则， 所以，即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 设点到平面的距离为， ， ， 由，得，解得， 设直线与平面所成角为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度期末考试卷 高一数学 测试模块：必修第二册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 5. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 10. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则，关于轴对称 C. 若，则 D. 若，且，是关于的方程的两个根（，），则 11. 如图，是边长为2的正六边形的中心，是正六边形边上的动点，则（ ） A. B. C. 的最大值为6 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 13. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． （1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； （2）求此次比赛进行3局就结束的概率． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 19. 如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $