精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的4个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘方化简后根据复数的定义判断． 【详解】，虚部为． 2. 在边长为的正三角形中，的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案. 【详解】以、为邻边作菱形，则， 由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍， 即，因此，，故选：D. 【点睛】本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 3. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误， 对于B，若，则或相交，故B错误， 对于C， 若，则，C正确， 对于D， 若，则或，故D错误， 故选：C 4. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，结合样本空间法，即可求解 【详解】设两个红球为1,2，两个白球为， 从中不放回地依次随机摸出2个球的样本空间为， 共包含6个样本点， 其中两次都摸到红球为事件，共1个样本点， 所以两次都摸到红球的概率. 5. 已知一组样本数据，，…，（）的均值和方差分别为2和3，则，，…，的均值和方差分别为（ ） A. 6和9 B. 8和11 C. 6和18 D. 8和27 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本均值和方差的线性变换性质，计算线性变换后数据的均值和方差. 【详解】设原样本数据的均值为，方差为，， 由均值的定义得新数据的均值为 ， 由方差的定义得新数据的方差为， 因此新数据的均值为8，方差为27，故D正确. 6. 一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积. 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为； 设圆台的高为，由体积可得， 解得，所以可得圆台母线长为， 根据侧面展开图可得圆台侧面积为. 故选：C 7. 在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为，且，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，化简可求. 【详解】在中，由余弦定理得，故， 又由面积公式，得，又， 所以， 所以．因为，所以. 8. 如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ） A. B. C. 或 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得. 【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点， ∴ME∥BC，且，∥AD，且， ∵向量与向量的夹角为， ∴向量与向量的夹角为， 又， ∴， ∴，即线段长为. 故选：A. 二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对； 对于B选项，若与相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选：ABC. 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（ ） A. 中位数为3，众数为3 B. 平均数为3，众数为4 C. 平均数为3，中位数为3 D. 平均数为2，方差为2.4 【答案】BD 【解析】 【分析】选项BD，利用反证法说明一定不含6，选项AC中依次举例说明可以含有6即可. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时， 满足中位数为3，众数为3，所以A不可以判断； 对于B，若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为9， 而众数为4，故其余4个数的和至少为10，所以B可以判断； 对于C，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时， 满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以C不能判断； 对于D，若平均数为2，且出现点数6， 则方差， 所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共三小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 13. 已知，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解. 【详解】由，得， 又因为，可得，所以， 所以， 则. 14. 吃粽子是端午节标志性的习俗之一．现在生活中常见的粽子形状为三角粽（有四个面，每个面都为三角形），因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形．如图是某三角粽的平面展开图，其中，，若该三角粽的四个顶点都在某个球的球面上，则该球体的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将三棱锥补全为正方体，求出其外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解. 【详解】如图，三棱锥为该三角粽的立体图， 由，得在三棱锥中，， 因为平面，所以平面， 如图，将三棱锥补全为正方体， 则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径， 则三棱锥外接球的直径， 则其半径，所以该球体的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 【答案】（1），第百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第百分位数； （2）分析可知，按分层随机抽样的方法选取人，上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：，解得. 设样本数据的第百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本数据的第百分位数为. 【小问2详解】 解：上周体育锻炼时间在的频数为， 上周体育锻炼时间在的频数为， 按分层随机抽样的方法选取人， 则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、， 体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、， 所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、 、，共种， 其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、 、，共种， 则所求的概率. 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点， 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故， 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）过点作，即可证明平面，则为与平面所成角，再由勾股定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 过点作， 在正三棱柱中，平面，， 因为平面，所以， 又为的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，，所以平面， 所以为与平面所成角， 因为，点为的中点． 在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为． 17. 在中，，， （1）求证：； （2）若，，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理得到，从而得到，即可得到答案. （2）首先，再利用余弦定理得到或，即可得到答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得： ，所以 ， ， 所以 因为A，B为三角形的内角，且，所以 【小问2详解】 因为，，所以点D在AC上. 由（1）知，设， 在中，由余弦定理知： 化简得：. 解得或. 当时，，； 当时，，. 综合上述，或. 18. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，， （1）求证：平面； （2）是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为侧面，侧面，得 ， 由， 则， 所以，所以， 又交于点B，且都在平面内，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由 ，，根据线面垂直的判定定理即可证结论； （2）先证明平面平面，因此过作交线的垂线，可得到平面平面，即可求得= ； （3）由上一问平面，故过作交所在直线于点，则为二面角的平面角，利用其正切值为，建立方程，求出的值，即得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知侧面，平面，知平面平面， 过作于，平面，平面平面， 则平面，因平面，故平面平面， 此时 . 【小问3详解】 上存在点，使得二面角平面角的正切值为. 由（2）知：平面，平面，则， 过P作交于，且都在平面内， 所以平面，则二面角的平面角为或其补角， 设，则，，. 由，则，所以， 由，即， 解得或（舍去）. 所以，所以. 19. 设函数． （1）求的值； （2）求方程的最小的9个正实数解之和； （3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为，，设，分类讨论的最小值，进而得出的最大值． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 已知，由（1）知， ，即，解得或， 此方程最小的9个正实数解之和为：． 【小问3详解】 已知恒成立，即恒成立， 设，则有，， 设， ①时，要满足题意则需，即， ，即； ②时，要满足题意则需，即， 设，则， ，即，整理得， 要满足题意则此不等式有解，即，解得， 当，时取等号， 综上所述，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的4个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 在边长为的正三角形中，的值为 A. B. C. D. 3. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组样本数据，，…，（）的均值和方差分别为2和3，则，，…，的均值和方差分别为（ ） A. 6和9 B. 8和11 C. 6和18 D. 8和27 6. 一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为，且，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ） A. B. C. 或 D. 3或 二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（ ） A. 中位数为3，众数为3 B. 平均数为3，众数为4 C. 平均数为3，中位数为3 D. 平均数为2，方差为2.4 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 三、填空题：本大题共三小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 已知，，则______. 14. 吃粽子是端午节标志性的习俗之一．现在生活中常见的粽子形状为三角粽（有四个面，每个面都为三角形），因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形．如图是某三角粽的平面展开图，其中，，若该三角粽的四个顶点都在某个球的球面上，则该球体的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 17. 在中，，， （1）求证：； （2）若，，求实数的值. 18. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，， （1）求证：平面； （2）是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 设函数． （1）求的值； （2）求方程的最小的9个正实数解之和； （3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $