精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

南宁二中2024-2025学年度下学期高一期末考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，按40分，每小题仅有一个正确选项.） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 5. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 16 C. 18 D. 25 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对每6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.） 8. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若的值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为3 10. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）. 11. 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 12. 在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________． 13. 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为______． 四、解答题（共5小题，共77分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 16. 如图，在正方形中，，对角线与交于点O，沿对角线将折起到的位置，如图所示，已知． （1）证明：平面⊥平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 18. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2024-2025学年度下学期高一期末考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，按40分，每小题仅有一个正确选项.） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再利用复数的除法化简. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率. 【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件， 所以，，， 因为，所以事件与事件相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为， 故选：B. 5. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解． 【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为， 于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为． 故降雨量等级为暴雨， 故选：D 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用异面直线夹角的几何求法找到夹角，利用直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的高为，则，，所以. 设正四棱锥的底面中心为，连接，，则， 所以直线与所成的角为，且连接， 由题可得，，，所以， 所以，故A正确. 故选：A 7. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 16 C. 18 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对每6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.） 8. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断. 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若的值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直关系的向量表示计算判断B；利用数量积的坐标运算及辅助角公式化简，然后利用正弦函数的值域求解判断C；利用向量模的运算及正弦函数的值域求解判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，解得， 又，因此，B错误； 对于C，，因为，所以， 所以，所以，即的取值范围为，C正确； 对于D，， 因为，所以，所以， 于是的最大值为，D错误. 故选：AC 10. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用体积桥可知当与重合时，体积最大，利用割补法可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确. 【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示， 此时； 将底面和侧面沿展成平面，如下图所示， 此时； ，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，A正确； 对于B，取中点，连接， ，四点共面， 则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示， 平面，平面，， ，，四边形为矩形， 又，，，B错误； 对于C，，为定值， 当点到平面距离最大时，取得最大值， 又点为侧面（含边界）上的一个动点， 当点与点重合时，点到平面距离最大， ，C正确； 对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上， 取中点，则，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如下图所示， ，，劣弧的长度为：， 即点在侧面内运动路径的长度为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）. 11. 在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 12. 在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】以为基底向量表示，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】以为基底向量， 则， 因为，，且，则， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为和，从而求出小球的表面积. 【详解】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，， 如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上， 且，设球的半径为R，则， ∵，∴，则，，∴， 设球与球相切于点Q，则， 设球的半径为r，同理可得，∴， 故小球的表面积. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得， 又由，得，即. 又因为，得到，. 由余弦定理可得. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得， 从而，. 故. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 【答案】（1），第百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第百分位数； （2）分析可知，按分层随机抽样的方法选取人，上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：，解得. 设样本数据的第百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本数据的第百分位数为. 【小问2详解】 解：上周体育锻炼时间在的频数为， 上周体育锻炼时间在的频数为， 按分层随机抽样的方法选取人， 则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、， 体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、， 所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、 、，共种， 其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、 、，共种， 则所求的概率. 16. 如图，在正方形中，，对角线与交于点O，沿对角线将折起到的位置，如图所示，已知． （1）证明：平面⊥平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由已知得，即， 在正方形ABCD中，，可得， 而，所以，可得． 因为，，，平面， 所以⊥平面， 因为平面PAC，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，结合，即可证明⊥平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知两两垂直，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴， z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，，， 设向量是平面PAB的法向量， 则，即， 令，得， 设直线与平面所成的角为，， 则. 17. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得； （2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：，解得：， . 【小问3详解】 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， 又，； ， 令，，则在上单调递增， ，即，的最大值为. 18. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $