广西柳州市2025-2026学年高一下学期7月质量监测数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，，，，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D． 4．在中，是线段上的靠近的三等分点，则 A． B． C． D． 5．已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的 A．众数是31 B．分位数是31.5 C．极差是38 D．中位数是44 7．已知，，，则 A． B． C． D． 8．已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是 A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第三象限 D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A． B．的最小正周期与的最小正周期相同 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数 D．的单调递增区间为 11．在三棱台中，平面，平面，，，则 A．四边形为直角梯形 B．三棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．________． 13．已知事件与相互独立，，，则________． 14．如图，某湖泊沿岸有，，，四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则，两镇之间的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知平面向量，，，且． （1）求； （2）若，求实数的值． 16．（本小题满分15分） 某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）在第四、五两组中，按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率． 17．（本小题满分15分） 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）解不等式． 18．（本小题满分17分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）已知的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度． 19．（本小题满分17分） 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，点是棱的中点，点是棱上的一点． （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案、提示及评分细则 1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．ABD 10．BC 11．AB 12． ． 13．0.85 14． 15．解：（1）因为，，且，所以， 2分 解得， 3分 所以，． 6分 （2）由（1）知，所以，， 因为，所以， 10分 解得． 13分 16．解：（1）由题意知， 2分 解得． 4分 估计这200名顾客的满意度评分的平均数 ． 8分 （2）从第四组抽取的人数为（人），记为，，，， 从第五组抽取的人数为（人），记为e，从这5人中选出2人，有，，，，，，，，，，共有10种情况， 11分 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的2人来自同一组的概率为． 15分 17．解：（1）由已知可得， 即，得， 3分 ，解得． 6分 （2）由（1）可得， 7分 ，． 9分 又， 函数在上单调递增，且为偶函数， 12分 ，解得或． 14分 不等式的解集为，或． 15分 18．解：（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：， 2分 ， ，，， 3分 ，， 4分 又，，所以，即． 5分 （2）由，，得． 7分 由余弦定理得， 则，所以， 9分 解得． 10分 （3）在中，为中线，， 11分 ， ． 13分 ，，， 14分 ， 15分 ，， 16分 ． 17分 19．（1）证明：取的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 2分 又平面，所以． 3分 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 4分 又平面，所以． 5分 （2）解：取的中点，连接，因为为线段的中点， 所以，， 由（1）知，平面，又平面，所以，所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角． 7分 因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以，即，解得． 因为平面，平面，所以，又，所以， 所以， 所以， 即二面角的余弦值为． 10分 （3）解：因为平面，平面，所以，又是边长为的等边三角形，点是棱的中点，所以，又，，平面，所以平面． 显然点不同于点，过点作，垂足为，又平面，所以，又，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为． 13分 设，所以，， 在中，，所以，即， 所以，所以， 15分 解得或（舍），即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $