精品解析：山东省济南市钢城区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024−−2025学年度下学期期末考试 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷 （选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故本选项符合题意； B. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. 的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 点在反比例函数的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知点代入反比比例函数解析式求出，然后判断各选项点的坐标是否符合即可．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入计算即可． 【详解】解：点 在上， ， 只有B选项，符合题意； 故选：B． 3. 2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为 ，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，， 千米， 由得千米， 故选：B． 4. 跨学科题 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的应用．设小孔O到的距离为，根据题意可得，利用相似的性质即可得到答案． 【详解】解：设小孔O到的距离为， 由题意可得， ∴， 解得． 故选：A 5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cos ∠DCA=，BC=10，则AB的值是(　　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AD BC， ∴∠DAC＝∠ACB． ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA． ∴∠ACB＝∠DCA． ∴， 即， ∴AC＝8， ∴． 故选B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数 ，即． 令 ，即， 解得． ∴且 故选：C． 7. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接，交于点F．若，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：A． 9. 已知点都在反比例函数的图像上，比较、、的大小（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；根据反比例函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴在每一个象限中，y随x的增大而增大， ∵，点，在第四象限， ∴， ∵点在第二象限， ∴ ， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．下面结论： ① ② ③ ④ ⑤正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故③正确， 在上取点 ，使用， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故①错误； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故②正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确； ， 设 ，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ，故⑤错误． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即 ， 故答案为： ． 12. 在中， ，， ，则 =_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形中的正弦定义的知识，熟练掌握勾股定理、正弦定义是解题的关键．先根据勾股定理求出，再直接求出 即可． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点 为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点 为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为 ， ∴， ∵为12， ∴， ∴点 的坐标为． 故答案为： 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上， 轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义等知识点，正确作出辅助线、构造三角形并求得三角形的面积是解题的关键． 如图，连接，线段交y轴于点D，再根据反比例函数k值的几何意义以及面积的和差可得，然后根据反比例函数k值的几何意义以及图象所在的象限即可解答． 【详解】解：如图，连接，线段交y轴于点D， ∵点A在双曲线上， ∴ ∵ 轴， ∴， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若 ，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点H，连接，过F作于点M，由中位线定理可得， ，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出 ， ，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：中，为的中点，， 如图，取中点H，连接，过F作于点M， ∴为的中位线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘方，二次根式的性质，立方根，二次根式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用乘方法则计算，再运算减法，即可作答． （2）先运算除法，再化简，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、零次幂、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用二次根式的性质、零次幂、立方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法． （1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：∵ ， ，， ∴， ∴， 即，． 19. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【小问1详解】 证明：在和中 ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到所在直线的距离．；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为此时测得（点C、A、在同一直线上，且直线（与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求绳子的总长； （2）求物体上升的高度．（结果精确到 ） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，勾股定理． （1）根据三角函数求出，根据勾股定理求出，相加即可； （2）根据三角函数求出，由题意得，求出，进而根据即可求出物体上升的高度． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， 在中，由，得：， ， 在中，由勾股定理得，， 绳子总长， 答：绳子总长为； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 由题意得，， ， ， 答：物体上升的高度约为． 21. 如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以 的速度从C出发，沿 向点B移动．设P、Q两点移动时间为． （1）___ ，____ （用含t的式子表示） （2）当运动时间为多少秒时，与 相似． 【答案】（1）， （2）与 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理求得的长度，然后用t表示出的长度即可； （2）分与两种情况，分别根据相似三角形的判定方法求解论即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴ , ∵动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以 的速度从C出发，沿 向点B移动， ∴，， ∴. 故答案为：，. 【小问2详解】 解： ， ①当时，， ，即，解得：； ②当时，， ，即，解得：． 综上，当与时，与 相似． 22. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出 ．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(，，b为常数) （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为x轴上一点，若 的面积为9，求P点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） 或者 （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，根据（1）可知直线的解析式为，如图，求解，利用列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图像可知，当 或者时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为 或者； 【小问3详解】 解：根据（1）可知直线的解析式为，如图， 当时，则 ， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 24. 阅读下列材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当 时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当 时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当 时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵ ，， ∴最大面积是符合题意． 25. 【初步感知】 （1）如图1，和相交于点 ，且，， ①则______ （填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点 旋转，当点在外部，点在内部时，求证： ； 【变式探究】 （2）如图3，在与中， ， ．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若 ，求 ，两点间的最大距离． 【答案】（1）①； ②证明：由①可知，， ， ，即 ， 又， ， ； （2） ，理由如下： ， ， 又 ， ， ； （3）10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，， ，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明 ，进而证明 ，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ，即 故答案为：； ②略 （2）略 （3）如图，连接，在的上方取点， 使 ， ． ， 在 中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当 时， ，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−−2025学年度下学期期末考试 初三数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷 （选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在反比例函数的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为 ，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 跨学科题 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cos ∠DCA=，BC=10，则AB的值是(　　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接， 交于点F．若，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点都在反比例函数的图像上，比较、、的大小（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线 分别交于点F、G，以G为圆心，长为半径作弧，交 于点H，连结．下面结论： ① ② ③ ④ ⑤正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 在 中， ，， ，则 =_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为______． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上， 轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为_____． 15. 如图，中，，D为的中点，点F是边 上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若 ，则的长为______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 计算： 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到 所在直线的距离．；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为此时测得（点C、A、在同一直线上，且直线（与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求绳子的总长； （2）求物体上升的高度．（结果精确到 ） 21. 如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以 的速度从C出发，沿 向点B移动．设P、Q两点移动时间为． （1）___ ，____ （用含t的式子表示） （2）当运动时间为多少秒时，与 相似． 22. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出 ．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(，，b为常数) （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为x轴上一点，若 的面积为9，求P点的坐标． 24. 阅读下列材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当 时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 25. 【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______ （填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点 在内部时，求证： ； 【变式探究】 （2）如图3，在与中， ， ．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若 ，求，两点间的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $