精品解析：山东省日照市莒县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度下学期八年级素养测试 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号等信息填写在答题卡的相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 函数的图象可以看作由函数的图象向上平移个单位长度而得到 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是六边形 D. 平分弦的直径垂直于弦 4. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 6. 下面的三个问题中都有两个变量： ①圆的面积与它的半径； ②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量与放水时间； ③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务与施工时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 10 D. 5 8. 莒县2026年重大体育赛事发布会上，我县计划举办省级及以上体育赛事30项，涵盖球类、轮滑、越野、水上运动等多个类别，其中7月份2026中国（日照）国民休闲水上运动会龙舟公开赛拟在峤山水库举行，赛前甲、乙两队在500米的赛道上进行预赛练习，所划行的路程（）与时间（）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 乙队比甲队提前到达终点 B. 当乙队划行时，此时落后甲队 C. 后，乙队比甲队每分钟快 D. 自开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 12. 某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 13. 如图所示，为的直径、是的弦，、的延长线交于点，已知，，则________． 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____． 三、解答题（本大题共9题，共75分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 17. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，某智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： 某智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价是（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方是（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是_________分，平均数是__________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店针对线上客户的售后安装服务提出一条合理的建议． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 19. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 20. 研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数：的图像与性质． … … … … （1）列表，写出表中的值：____________．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图像． （2）观察函数图像，请写出函数的一条性质：______________________________________； （3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，请直接写出不等式的解集是____________________________________． 21. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标． 23. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点，求的长． （3）过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期八年级素养测试 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号等信息填写在答题卡的相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，求解即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念可得， 只有A选项的图案是中心对称图形，符合题意． 2. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 函数的图象可以看作由函数的图象向上平移个单位长度而得到 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是六边形 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】D 【解析】 【分析】判断假命题题型，依次运用一次函数平移、矩形判定、多边形内外角和、圆的垂径定理相关知识，逐一验证各命题即可得到假命题． 【详解】解：A、一次函数平移遵循“上加下减”原则，将向上平移个单位，可得，故此选项是真命题； B、“对角线相等的平行四边形是矩形”是矩形的判定定理，故此选项是真命题； C、任意多边形的外角和为，该多边形内角和为，设多边形边数为，根据多边形内角和公式得，解得，故此选项是真命题； D、若被平分的弦本身是直径，则两条直径互相平分但不一定垂直，该命题未限定弦不是直径，故此选项是假命题． 4. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 6. 下面的三个问题中都有两个变量： ①圆的面积与它的半径； ②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量与放水时间； ③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务与施工时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知，图象为一次函数的图象，且随的增大而减小，逐一分析每一条中与的关系，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：图象为一次函数的图象，且随的增大而减小； ①圆的面积随着半径的增大而增大，不符合题意； ②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量随着放水时间的增大而减小，而且是匀速减小，符合题意； ③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务随着施工时间的增大而减小，且匀速减小，符合题意． 综上，符合题意的是②③； 故选D． 【点睛】本题考查图象法表示函数．解题的关键是从图象中有效的获取信息． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 8. 莒县2026年重大体育赛事发布会上，我县计划举办省级及以上体育赛事30项，涵盖球类、轮滑、越野、水上运动等多个类别，其中7月份2026中国（日照）国民休闲水上运动会龙舟公开赛拟在峤山水库举行，赛前甲、乙两队在500米的赛道上进行预赛练习，所划行的路程（）与时间（）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 乙队比甲队提前到达终点 B. 当乙队划行时，此时落后甲队 C. 后，乙队比甲队每分钟快 D. 自开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取甲、乙两队的路程与时间信息，分别计算两队的速度，求出函数解析式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：由图象可知，甲队全程匀速行驶，乙队在后匀速行驶．甲队的速度为，甲队的函数解析式为． 乙队在的速度为； 乙队在的速度为． 乙队在后的速度保持不变．对于A，乙队到达终点用时，甲队用时，乙队比甲队提前，故A正确； 对于C，后，乙队速度比甲队快，故C正确； 对于B，当乙队划行时，， 乙队处于段． 设该段乙队函数解析式为，过点，， ， 解得， 即． 当时，， 解得． 此时甲队路程为． ， 乙队落后甲队，故B正确； 对于D，当时，甲队已划行，剩余路程． 乙队到达终点时刻为，甲队剩余时间为． 甲队所需速度为． ， D错误，故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过图象判断可得水平段对应点P在上运动，得菱形边长；下降段对应点P在上运动，得对角线．由的面积推出菱形的高，结合菱形面积公式，得；最后在中由勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：当点P在上运动时，连接，且与相交于点O，过点P作于点E，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴的长度始终不变， ∴的面积不变，对应图象为水平段， ∵点P的速度为，从A到B用时a秒， ∴， ∴， 当点P在上运动时，如图，连接， 由函数图象可得，的面积逐渐减小至0，对应为图象的下降段，且从B到D用时为秒， ∴， 当P在上时， 解得， 由图可得，且， ∴ 解得， ∴， 在中， 解得（长度为正，舍去负值）． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，可得和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得，， ∴． 12. 某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可． 【详解】解：根据表格数据， ∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙， 但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好， ∴应选择的通信公司是丙. 13. 如图所示，为的直径、是的弦，、的延长线交于点，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆上直径与半径的关系推得，根据等边对等角得出，根据三角形外角性质得到，根据等边对等角得出，根据三角形外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由点A坐标和长度求出长，然后根据折叠性质可知，，在中求出，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴， ∴． 在中，， ∴, ∴D点坐标为，E点纵坐标为10， 由折叠性质可知． 则， 设，则，． 在中，根据勾股定理得：， 即． 解得． ∵， ∴点E的横坐标为3． 三、解答题（本大题共9题，共75分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求，点． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，某智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： 某智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价是（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方是（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是_________分，平均数是__________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店针对线上客户的售后安装服务提出一条合理的建议． 【答案】（1）5，4.6 （2）26 （3）答案不唯一，如：①该门店需要加强对安装人员的培训，提升安装技术水平；②该门店需要优化上门安装流程，提高上门时效；③该门店需要改善售后安装服务态度等．（答一条即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和加权平均数的定义求解即可； （2）先求出需要改进服务的是评价为“一般”和“差评”的人数，再通过扇形统计图求出B的占比，然后乘以占比即可； （3）可结合扇形统计图进行分析即可． 【小问1详解】 解：500个数据，则中位数是第250，251个数据的平均数，而优秀人数有420人，若将数据从高到低排列，则第250，251个数据都是5分，故中位数为5分， 平均数为：（分）； 【小问2详解】 解：回答第2个问题的人数为， 选B（即上门时效）的人数为． 【小问3详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，，     ， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 19. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数：的图像与性质． … … … … （1）列表，写出表中的值：____________．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图像． （2）观察函数图像，请写出函数的一条性质：______________________________________； （3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，请直接写出不等式的解集是____________________________________． 【答案】（1），补全函数图像如下图所示： （2）图像关于轴对称（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入求解，描点，用平滑曲线连接； （2）观察函数图像，写出函数图像的性质； （3）先找到一次函数与图像的交点坐标，观察图像，确定的位置，即可得到答案． 【小问1详解】 解：令，则， ∴； 在平面直角坐标系中描点， 然后用平滑的曲线连接即可； 【小问2详解】 解：通过图像观察，可知： 图像关于轴对称； 【小问3详解】 解：根据图像可知， 一次函数图像与图像的交点为， 在点的左侧， ∴， 在点之间， ∴； 综上所述，不等式的解集是或． 21. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）答：剪去的正方形的边长为． （2）答：剪去的正方形的边长为． 【解析】 【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长． （2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为，矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检验，得到剪去正方形的边长． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的边长为，宽为． 由题意得： 解得． 因为，所以不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为． 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，剪去的矩形的长为，宽为，则剪去部分的面积为： 解得或，（不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图，点为射线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，代入点坐标得到方程组即可得到结论； （2）求出的面积，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，得到的面积，求得此时点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数上， ∴将代入，得， 解得，即． ∵一次函数过点和， ∴代入得方程组：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴交于，令，得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 当点在线段上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为； 当点在线段的延长线上时， ， 即， 解得， 对应的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 23. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点，求的长． （3）过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴边上的高等于， 又，，， ∴． （2） （3）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）知，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再利用等面积法求的面积，从而证得； （2）根据勾股定理求出的长度，再证明，从而求出长度，再次利用勾股定理求解； （3）先根据矩形的性质与平行线的性质证得四边形是矩形，再根据（2）得到的线段的长度，求出，从而证明结果． 【小问1详解】 证明：见答案 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，； 由旋转的性质可得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【小问3详解】 证明；见答案 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $