精品解析：广西来宾高级中学2025-2026学年高二下学期期末第二次适应性训练数学试题

2026年春学期高二期末第二次适应性训练 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 6. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 7. 若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 10. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 16. 邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； （2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 19. 已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高二期末第二次适应性训练 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 设函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解. 【详解】==， 而，所以，. 3. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法． 故选B． 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的． 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 6. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 7. 若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数导数与单调性，结合函数极值点唯一性，对参数进行分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 若函数有唯一极值点，等价于有唯一的变号零点， 当时，，函数在上单调递增， 此时函数无极值点，不满足题意， 当时，由，又因为，所以， 令，问题转化为函数与函数图象只有一个交点， 由， 令，解得：或， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 即函数的大致图象为： 当时，与有三个交点，不满足题意； 当时，与有两个交点， 一个点的横坐标为，此点为直线与函数的切点， 且在此处不变号；另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意； 当时，与只有一个交点，满足题意. 综上所述，的取值范围为：. 8. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理结合通项公式可一一判定选项. 【详解】易知的展开式的通项为 ，， 又第6项为常数项，即时，，所以A项错误； 则通项，，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 10. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误． 【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________． 【答案】1.96 【解析】 【分析】根据二项分布，由公式得到结果. 【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可. 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 当时，，所以在上存在一个零点， 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 【答案】（1） （或写为 ） （2）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可； 【小问1详解】 当时，，． 且，． 曲线在点处的切线方程为，即得． 【小问2详解】 ． 当时，，是增函数，无极值点； 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值点为，无极大值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 16. 邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； （2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，利用组合知识，结合古典概型概率公式求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，利用期望公式计算其数学期望. 【详解】（1）由已知得.所以事件发生的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2 计算， ， ； 所以随机变量的分布列为： 随机变量的数学期望为. 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用及随机变量的分布列、数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 17. 某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先根据题意完善列联表，然后计算，然后进行判断即可. （2）根据题意可知女性数服从二项分布，然后列出分布列，求出期望. 【小问1详解】 由题意得列联表如下： 性别 不喜欢 喜欢 合计 男性 40 140 180 女性 50 70 120 合计 90 210 300 零假设：喜欢观看“闽超”联赛与性别无关. . 在小概率值的独立性检验下，零假设不成立， 即能认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关. 【小问2详解】 由题意可知，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率， 可取，则. ，， ，， 分布列如下 根据二项分布期望公式得. 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 19. 已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. 【小问1详解】 当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需， 解得． 【小问2详解】 当时，，的图象与轴没有交点； 当时，令，解得或． 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以； 当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以； 综上， 【小问3详解】 由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，， 又因为在上单调递增， 所以的值域为， 依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即， 解得的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $