第4章 一元一次方程 单元复习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学一元一次方程单元复习讲义通过思维导图和表格系统构建知识体系，梳理了等式与方程概念、一元一次方程解法步骤及应用类型，清晰呈现核心知识的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计，涵盖基础运算、古代问题（如《九章算术》“共买羊”）及新定义运算等题型，培养运算能力与模型意识。不同难度题目满足分层需求，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

第4章 一元一次方程 思维导图 4.1 等式与方程 方程的相关概念 等式：用等号「=」来表示相等关系的式子叫做等式。例如：3+2=5、x+3=5都是等式。等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则。 方程：含有未知数的等式叫做方程。方程满足两个条件：一是必须是等式，二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。例如：2x-1=3中，x是未知数，式子是等式，因此是方程；而2x-1只是代数式，3+2=5不含未知数，都不是方程。 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。例如：当x=2时，2x-1=3的左右两边相等，因此x=2是这个方程的解，也可以说x=2是这个方程的根。 检验方程的解的方法：①把未知数的值分别代入方程的左右两边；②计算左右两边的值；③比较左右两边的值是否相等，若相等，则这个值是方程的解，否则不是。 等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果a=b，那么a±c=b±c。例如：若x-3=5，两边同时加3，得到x=5+3即x=8，符合性质1。 等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc，= (c≠0)。需要注意这里的除数不能为0，另外如果两边同时乘整式，不要求整式不为0。 等式的其他性质：①对称性：如果a=b，那么b=a，即等式左右交换位置结果仍然是等式；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c，这个性质也叫做等量代换。 4.2 一元一次方程及其解法 一元一次方程的概念 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程满足四个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③方程是整式方程；④未知数的系数不为0。四个条件必须同时满足，例如2x+1=5是一元一次方程，而x²+2x-3=0未知数次数是2， +1=2分母含有未知数不是整式方程，x+y=3含有两个未知数，都不是一元一次方程。 一元一次方程的一般形式是：ax+b=0 (a≠0)，其中a是未知数的系数，b是常数项。 移项 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项的依据是等式的性质1，移项必须改变符号后再移到另一边，没有移项的项不需要变号。例如：解方程3x+5=4x+1，移项后得到3x-4x=1-5，这里的5和4x移项后都改变了符号，符合移项规则，不要错写成3x+4x=1+5这种错误形式。 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 等式性质2 不要漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母后要给分子加上括号 去括号 按照去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；不要漏乘括号内的每一项 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式性质1 移项必须变号，不移项的项不变号 合并同类项 把方程化成ax=b (a≠0)的形式 合并同类项法则 系数相加，字母和次数不变，计算要准确 系数化为1 在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a 等式性质2 分子分母不要颠倒，注意符号不要出错 在解一元一次方程时，并不是每一道题都必须按照这五步依次进行，要根据方程的具体形式灵活调整步骤，例如没有分母的方程不需要去分母，没有括号的方程不需要去括号。 常见特殊解的情况 对于一元一次方程化简后为ax=b的形式： 1. 当a≠0时，方程有唯一解x=b/a； 2. 当a=0且b≠0时，方程无解，因为0乘任何数都不可能等于非零数； 3. 当a=0且b=0时，方程有无数个解，因为0乘任何数都等于0。 4.3 用一元一次方程解决问题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1. 审：审题，找出题目中的已知量、未知量，分析各个量之间的关系，找到等量关系。审题是解题的基础，关键就是准确找到能够包含全部题意的等量关系。 2. 设：设未知数，一般分为直接设元（问什么设什么）和间接设元（设和所求问题相关的中间量为未知数）两种。设未知数时要说明单位，保证单位统一。 3. 列：根据找到的等量关系，把相关的量用含未知数的代数式表示出来，代入等量关系列出一元一次方程。列方程时要保证方程两边的量相等，单位统一。 4. 解：解这个一元一次方程，求出未知数的值。如果是间接设元，还要根据求出的未知数计算出题目要求的未知量。 5. 验：检验求得的结果，一方面要检验未知数的值是不是原方程的解，另一方面要检验结果是不是符合实际问题的意义，比如人数、个数不能是分数负数，时间长度不能为负等等，不符合实际的解要舍去。 6. 答：写出答案，回答题目所问的问题，注意不要漏写单位。 可以简记为「审、设、列、解、验、答」六个步骤。 常见实际问题类型及基本等量关系 1. 和差倍分问题 此类问题主要考查数量之间的和、差、倍数、分率关系，关键词有「多、少、共、倍、几分之几、增加、减少」等等。 基本等量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量×(1+增长率)，减少后量=原有量×(1-减少率)；和差关系一般根据关键词直接列等式即可。 例如：甲数比乙数多3，甲数是乙数的2倍，设乙数为x，则甲数为x+3，等量关系就是x+3=2x。 2. 行程问题 基本公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。 常见类型： · 相遇问题：相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程；相遇时两者用时相等（同时出发的情况下）。 · 追及问题：同向而行，追及路程=快者走的路程-慢者走的路程；追及时两者用时相等（同时出发的情况下）。 · 环形跑道问题：同向出发，每次相遇快者比慢者多跑一圈；反向出发，每次相遇两者路程和等于一圈的长度。 · 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，顺水路程=逆水路程（同一趟往返路程相等）。 3. 工程问题 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。 一般情况下，如果题目没有给出具体的工作总量，可以把总工作量设为1，那么各部分工作效率之和=总工作效率，各部分工作量之和=总工作量1。 例如：一项工程甲单独做需要3天完成，乙单独做需要6天完成，两人合作需要几天完成？甲的效率就是1/3，乙的效率是1/6，设合作x天完成，方程就是(1/3 + 1/6)x=1。 4. 销售盈亏问题 基本概念与公式： · 进价（成本价）：商家进货的价格；售价：商品卖出的价格；标价：商品标注的价格；利润：售价减去进价的部分；利润率：利润占进价的百分比；打折：按照标价的百分之几十出售，例如打八折就是标价×80%。 · 基本公式：利润=售价-进价=进价×利润率；售价=标价×打折率=进价×(1+利润率)；利润率=利润÷进价×100%。 5. 配套问题 配套问题的核心是配套的两种部件之间满足固定的数量比例关系，例如一个桌子配四个椅子，那么椅子总数=桌子总数×4，根据这个比例关系列方程。 例如：某车间有28名工人，每人每天生产12个螺栓或18个螺母，一个螺栓配两个螺母，安排多少工人生产螺栓刚好配套？设安排x名工人生产螺栓，那么生产螺母的是(28-x)名，螺栓总数是12x，螺母总数是18(28-x)，根据螺母是螺栓的2倍，得到方程2×12x=18(28-x)。 6. 储蓄利息问题 基本概念：本金是存入银行的钱，利息是银行给的酬金，本息和是本金加利息，利率是利息与本金的百分比，期数是存款的时间。 基本公式：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；如果计利息税，税后利息=本金×利率×期数×(1-利息税率)。 7. 数字问题 数字问题一般要设间接未知数，设中间数位的数字为x，然后用代数式表示出多位数：一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，这个两位数表示为10a+b；三位数，百位a，十位b，个位c，就是100a+10b+c，以此类推。 例如：一个两位数，十位数字比个位数字大2，十位和个位交换位置后新数比原数小18，求这个两位数，设个位数字是x，十位数字就是x+2，原数是10(x+2)+x，新数是10x+(x+2)，方程就是10(x+2)+x - [10x+(x+2)]=18。 8. 分段计费问题 分段计费问题的核心是不同区间的收费标准不同，要先判断未知数属于哪一个区间，再根据对应的收费标准计算总费用，根据总费用列方程。常见的有电费分段计费、水费分段计费、出租车计费、网购快递收费等等。 例如：某市出租车起步价是8元（3千米以内，含3千米），超过3千米的部分每千米1.5元，小明打车花费15.5元，求打车的路程。设路程是x千米，因为15.5>8，所以x>3，方程就是8 + 1.5(x-3)=15.5。 【类型一】等式与方程 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方程的概念，解题的关键是熟练掌握方程的概念． 根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； C．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意； D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【类型二】等式的基本性质 1．下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形即可得到错误选项． 【详解】解：根据等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． A. , 等式两边同时减, 可得, 变形正确． B. , 等式两边同时加, 可得, 变形正确． C. , 等式两边同时乘, 可得, 不是, 变形错误． D. , 等式两边同时乘, 可得, 变形正确． 故选C． 2．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 3．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 【类型三】列方程 1．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． 3．根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据题意，将文字描述转化为代数方程即可． 【详解】解：x的3倍表示为，与7的差表示为，根据条件，此差等于11， 因此方程为， 故答案为：． 【类型四】方程的解 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 2．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 3．若是关于的方程的解，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 【类型五】一元一次方程的定义与解 1．下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，满足一元一次方程的所有条件，符合要求； B选项，未知数的最高次数为2，不符合要求； C选项不是方程，不符合要求； D选项，分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求． 2．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 【类型六】解一元一次方程一移项 1．解方程：． 【答案】 【详解】解： 移项得： 合并同类项得：． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：， 移项，得：， 合并同类项得：； （4）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （5）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （6）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：. 【类型七】解一元一次方程—去括号 1．解方程：． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤，本题先利用去括号法则去掉方程左侧的括号，再通过移项将含未知数的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，移项依据是等式的基本性质1，移项后合并同类项．最后将未知数的系数化为1，依据是等式的基本性质2，得到方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化为1得． 【类型八】解一元一次方程—去分母 1．解下列方程： 【答案】 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， 解得：． 2．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：整理得 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【类型九】一元一次方程的应用一配套问题 1．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 【答案】加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】设加工螺栓x人，则加工螺母人，根据螺栓的个数的2倍等于螺母的个数，列方程求解即可； 【详解】解：设加工螺栓x人，则加工螺母人， 根据题意可得， 解得：， 答：加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 2．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】25人生产大齿轮，60人生产小齿轮 【分析】设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“ 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮． 根据题意，得， 解得：， ， 答：安排 25 名工人加工大齿轮，则安排 60 名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 3．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 【类型十】一元一次方程的应用一年龄问题 1．父亲和女儿现在的年龄之和是55，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的，求女儿现在的年龄． 【答案】女儿现在的年龄为15岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设女儿现在的年龄为x，则父亲现在的年龄为岁，根据“当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的”列方程求解即可． 【详解】解：设女儿现在的年龄为x，则父亲现在的年龄为岁， 依题意，得， 解得， 答：女儿现在的年龄为15岁． 2．今年，小明的年龄是爷爷年龄的．小明发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的．试求出小明今年的年龄． 【答案】小明今年12岁. 【分析】设小明今年的年龄是x岁，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明今年的年龄是x岁，依据题意得： 解得： 答：小明今年的年龄是岁． 3．父亲和女儿现在年龄和是岁，年前父亲年龄是女儿年龄的倍还多岁． (1)求父亲和女儿现在的年龄分别是多少？ (2)多少年后父亲年龄是女儿年龄的倍？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为岁，女儿现在的年龄为岁； (2)年后父亲年龄是女儿年龄的倍． 【分析】（）设女儿现在的年龄为岁，则父亲现在的年龄为岁，根据题意，可得一元一次方程方程，解方程即可求解； （）设年后父亲年龄是女儿年龄的倍，根据题意，可得一元一次方程方程，解方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设女儿现在的年龄为岁，则父亲现在的年龄为岁， 由题意可得，， 解得， ∴岁， 答：父亲现在的年龄为岁，女儿现在的年龄为岁； （2）解：设年后父亲年龄是女儿年龄的倍， 则， 解得， 答：年后父亲年龄是女儿年龄的倍． 【类型一】一元一次方程中的程序问题 1．观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的的值为（   ） A．2或5 B．5 C．3或7 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查程序图、解一元一次方程、解含绝对值的一元一次方程，根据程序图写出一元一次方程是解题的关键． 根据程序图写出和，分别求出对应的的值，再结合判断是否符合即可得到最后的的值． 【详解】解：当输出的结果为5时， ①，解得：； ②，解得：或， ∵， ∴； ∴当输出的结果为5时，或， 故选：C． 2．某数学爱好者设计了如下的程序，在计算机上按此程序计算．若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为1682，则满足条件的x最多有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，根据运算程序列出方程求出x，然后把求出的x的值当做计算结果继续求解，直至x不是正整数为止． 【详解】解：∵最后输出的结果是1682， ∴， 解得， ， 解得， ， 解得， ∵3是最小的正整数， ∴满足条件的x的值有3、26、210共3个． 故选：B． 3．一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是15，则输入x的值是________． 【答案】或/或 【分析】根据程序图，分为当时，当时两种情况进行讨论即可解答． 【详解】解：当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：， 综上：输入x的值是或6． 【类型二】一元一次方程的应用一古代问题 1．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 2．《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半．”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设牛主人应赔偿x斗，则马主人应赔偿斗， 羊主人应赔偿斗，根据一共要赔偿7斗列方程即可． 【详解】解：设牛主人应赔偿x斗，则马主人应赔偿斗， 羊主人应赔偿斗， 由题意得，． 3．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 【答案】 【分析】分别用含的代数式表示出两种情况下的物价，根据物价不变即可列出方程． 【详解】解：设有人， 每人出8钱时，总出钱数为，多出3钱，因此物价为， 每人出7钱时，总出钱数为，缺少4钱，因此物价为， 因为物价固定不变，因此可得方程． 【类型三】一元一次方程的应用—数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97 【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 化简得，，等式恒成立， 结合数位特征：个位数字x的取值范围是， 原来的两位数为∶ 20、31、42、53、64、75、86、97． 2．一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位十位个位），结合已知的个位与百位数字的倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式； （2）根据“两数之和为”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字的值，再代入原数的代数式计算出原三位数即可． 【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是，则原三位数的个位数字是，新三位数的百位数字是，个位数字是， ∴原三位数为； 调换位置后的三位数为； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：原三位数是． 3．我们知道：整数和分数统称为有理数．而无限循环小数属于分数，你知道为什么吗？请先看下面把无限循环小数化成分数的例题，然后解决问题： 【例】把循环小数化分数： 解：设 ① 则 ② ②①得： 所以 应用： (1)把循环小数化成分数（写出演算过程）． (2)直接写出下列循环小数化成分数后的结果： ① ；② ； ③ ． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①、②、③ 【分析】（1）设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． （2）仿照例题列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 即， 解方程得， 即． （2）①设 则 ∴ 解得：，即 ② 设 则 ∴ ∴ 解得：，即 ③设 ∴ ∴ ∴ ∴，即 【类型四】一元一次方程的应用—销售问题 1．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 2．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)； (2)购进甲种商品件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】（1）设甲种商品每件进价为元，根据甲的利润率为，列方程求出x的值，再结合利润率定义列式求解，即可解题； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2300元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时，②当打折前一次性购物总金额超过600元时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元， 由题意得， 解得， 甲种商品每件进价为元， 乙种商品每件进价50元，售价80元， ， 即每件乙种商品利润率为。 （2）解：设购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：购进甲种商品件； （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件， ， ①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时， 根据题意得：， 解得； ②当打折前一次性购物总金额超过600元时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 3．2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 【答案】(1)① (2)A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元．根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：万万，万， 万万，万． 万万， 按照以旧换新补贴标准，购买①价格更低． （2）解：设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元． 根据题意，可列方程为 ． 解得． （万元）． 答：A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元． 【类型五】一元一次方程的应用一行程问题 1．杭州到衢州的杭金衢高速全长290千米，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105千米，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 【答案】乙车每小时行90千米 【分析】根据剩余的路程加上甲乙行驶的路程和等于总路程建立方程求解即可． 【详解】解：设乙车每小时行千米， 答：乙车每小时行90千米． 2．周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时（路上）．已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米．请问淮安到苏州距离是多少千米？ 【答案】432 千米 【分析】设淮安到苏州距离是千米，根据题意，去程时间为小时，返程时间为小时，根据一共用时9小时建立方程求解即可． 【详解】解：设淮安到苏州距离是千米， 由题意得， 方程两边同时乘 240得， ， ， 答：淮安到苏州距离是432千米． 3．甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 【答案】600米 【分析】设甲、乙两站距离为米，由乙到甲、丙距离相等得乙丙也为米，甲丙距离为米．先求出第一次相遇两人各自走的路程，再求出第一次相遇到第二次追上两人走的路程，根据速度不变，相同时间内路程成正比例，列方程求解得到，即可算出甲丙两站的距离． 【详解】解：设甲、乙两站的距离为米，则乙、丙两站的距离也为米，甲、丙两站的距离为米． 第一次相遇时，小军走的路程为米．小明走的路程为米． 从第一次相遇到第二次追上时，小军走的路程为米， 可知这段路程是第一次相遇时小军路程的2倍．两人速度保持不变，因此这段时间小明走的路程也为第一次相遇时小明路程的2倍． 小明从第一次相遇到被追上，实际走了（米）． 列方程得： 解得 则甲、丙两站的距离为（米） 答：甲、丙两站的距离是600米． 【类型六】一元一次方程的应用一几何问题 1．如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． 【答案】长为、宽为． 【分析】根据长方形的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形的周长为34， ∴， 解得：， ∴长方形的长为、宽为． 2．如图，用8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），则每块地砖的宽为多少？ 【答案】 【分析】设每块地砖的宽为，则长为，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每块地砖的宽为，则长为， 由图示可得：，解得． 答：每块地砖的宽为． 3．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的面积，然后求出x的值，再把x的值代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：长方形的长为，宽为， 长方形的面积， ∵，， ∴， ∴ 当时， 长方形的面积． 【类型七】一元一次方程的应用一规律问题 1．如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查图形类规律探究，一元一次方程的应用，找到图形中的规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子，填表即可； （2）根据后一个图形比前一个图形多4枚棋子，列出代数式即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴第4个图案的棋子数为：，第5个图案的棋子数为：， 填表如下： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 18 22 （2）解：由（1）可知，第n个“上”字需用个棋子； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 令， 解得：， ∵是正整数， ∴说明第个图形上恰好使用枚棋子， 故能按照以上规律恰好站成一个“上”字． 2．【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用． （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：； （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 3．【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 【答案】（1）14；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 故答案为：14； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， 解得：或（舍）． 【类型八】一元一次方程的应用—鸡兔同笼问题 1．（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 【答案】她做对了道题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据题意，设对了题，则错了题，由此列方程即可求解． 【详解】解：根据题意，设对了题，则错了题， ∴， 解得，， ∴她做对了道题． 2．“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】设鸡为只，根据有94只脚列出方程，解之即可． 【详解】解：设鸡为只，那么兔有只，鸡的脚有只，兔的脚有只， 则有， 解得， 所以（只）． 答：鸡有23只，兔有12只． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【类型九】一元一次方程的应用一工程问题 1．一件工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成，甲做2天后，乙来支援，问乙做多少天后工作任务完成了? 【答案】 天 【分析】设乙做天后工作任务完成了，根据工作总量等于各工作分量之和，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设乙做天后工作任务完成了，由题意，得： ， 解得； 答：乙做4天后工作任务完成了. 2．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 3．某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【答案】(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 【类型十】一元一次方程的应用一收费问题 1．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 2．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】(1)1月份应缴费用元 (2)2月份应缴费用元 (3)3月份用水量为35吨 【分析】（1）根据，利用前面的两个价目表计算即可； （2）使用三个价目表求解即可． （3）先计算用水为30吨时的费用，比较两个费用的大小，判断用水量，再根据价目表适时计算即可． 【详解】（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 【类型一】一元一次方程中的整数解 1．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 2．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 3．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 【类型二】一元一次方程中的整体代入 1．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】将原方程变形后，利用已知解的定义，通过换元法即可求出所求方程的解． 【详解】解：对原方程变形为：， 整理得：， 令，则方程化为 原方程的解为， ∴， 即方程的解为：， 关于的方程与形式完全相同， 方程的解为：． 【类型三】一元一次方程的新定义运算 1．新趋势·新定义  对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程．理解新定义运算的含义是解题的关键．根据新运算的定义：，将变换成求解即可． 【详解】解：，， ， 化简得：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故选：C． 2．定义一种新运算：，若，则 x 的值为（   ） A．23 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算的定义，先计算括号内的 ，得到结果后再与进行运算，并令其等于1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：，例如：，若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解题关键．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再代入方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 【类型四】绝对值方程 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 2．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 3．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 【类型五】一元一次方程的应用一月历问题 1．如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 2．在数学活动课上，李老师带领同学们一起探究2024年11月份的月历． 探究一： （1）如图1，小强同学在月历中画出带阴影的“口”字方框中的4个数，方框可以任意移动．小强设左上角的数为，按顺时针排列其它三个数分别为，，，小强发现，请你证明这个结论； 探究二： （2）如图2，小涛同学在月历中画出带阴影的十字方框，移动十字方框，小涛同学发现十字方框中的五个数的和是5的倍数，请你证明这个结论； 探究三： （3）如图3，小丽同学在月历中画出带阴影的“H”形框，移动“H”形框到某个位置时，她说框中的七个数字和为140，请你判断小丽的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）小丽的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，一元一次方程的应用： （1）先根据月历的特点用含a的式子表示出b、c、d，再求出的结果即可证明结论； （2）先根据月历的特点用十字方框中间的数表示出其余四个数，再求出这五个数的和即可证明结论； （3）先根据月历的特点用形框中间的数字表示出另外六个数，再建立方程，解方程看是否有正整数解且是否符合月历的特点即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：由题意得，，，， ， ， ； （2）证明：设十字方框中间的数为，则其余四个数分别为，，，， ， 为正整数， 是5的倍数， 十字方框中的五个数的和是5的倍数； （3）小丽的说法正确， 理由如下： 设形框中间的数字为，则另外六个数字分别为，，，，，， 根据题意得，， 解得， 由月历日期排列分布，当时，形框能框中七个数字， 小丽的说法是正确的． 3．【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 【答案】（1）9，9； （2）这个结论对任何一个月的月历都成立，理由如下：设正中心的数为n ，则其余的数为， ∴， ∴结论成立； （3） 【分析】本题主要考查一元一次方程月历问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将所有数加起来和正中心数比较即可；将所有数加起来和正中心数比较即可； （2）设正中心的数为n，将其余的数相加验证结论即可； （3）设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为，将“+”形和“”形的各个数表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：9个数的和为，其和是正中心数11的9倍， 图②的位置，9个数的和为，， ∴其和是正中心数22的9倍， 故答案为：9；9； （2）略 （3）解：设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为， ∴“+”形的各个数为， ∴， ∴“”形的各个数为：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 【类型六】一元一次方程的新定义方程 1．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3)不正确，反例见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）解：以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 2．若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再根据“同心方程”的定义求解； （2）先求出方程的解，根据“同心方程”的定义求出的可能值，再将的值代入关于的方程中求出的值； （3）先求出方程的解，再根据无论取任何有理数都成立，得到关于，的方程求解，再代入求值． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∴， ∴方程与方程不是“同心方程”； （2）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，代入得， 解得； （3）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，已知方程的解，求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元一次方程（二）——去括号，解一元一次方程（三）——去分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 3．定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． 【类型七】数轴动点求t 1．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 【答案】(1) 12；3 (2)5 (3) 秒 (4) 或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． 2．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为3个单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，且线段，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，直接写出为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 【答案】(1)； (2)3或5 (3)当为秒或秒或秒时重叠部分面积为3 【分析】（1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为3单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即可，根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式及等量关系是解答的关键． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴当时，表示的数为：； ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为3单位长度时，， ∴或， 即满足条件的t值为3或5． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 由题意，，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图①，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图②，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图③，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图④，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为3． 3．[阅读材料] 数轴是初中数学的一个重要知识，数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些规律． 数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，若，则线段；线段的中点M表示的数是． [简单应用] 当数轴上点A表示的数，点B表示的数时， （1）线段________；线段的中点M表示的数是________； [拓展运用] （2）如图1，数轴上点A表示的数是，点D表示的数是10． ①当点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点D以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．求A，D两点重合时所表示的数是多少？ ②按上述方式运动，求t为何值时，线段等于4个单位长度； ③如图2，点B表示的数是，点C表示的数是3，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C，点D静止不动，设运动时间为秒，当线段的中点和线段的中点间的距离是线段的一半时，直接写出t的值． 【答案】（1）9；；（2）①；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的几何问题，数轴与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①根据题意得：秒后，点A表示的数为：，点D表示的数为：，再根据A，D两点重合列方程求解即可； ②利用绝对值建立方程求解即可；③根据题意得出线段的中点为：，线段的中点为，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A表示的数，点B表示的数， ∴， 线段的中点M表示的数是：， 故答案为：9；； （2）①根据题意得：秒后，点A表示的数为：，点D表示的数为：， ∴， 解得：， ∴A，D两点重合时所表示的数是； ②由①得：， 解得：或； ③秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：， ∴线段的中点为：， ∵点C表示的数是3，点D表示的数是10，点B表示的数是， ∴线段的中点为：，， ∵线段的中点和线段的中点间的距离是线段的一半， ∴， 解得：或． 1．（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可得到结果． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴列方程得 解得 2．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解方程 ，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路为找到方程分母的最小公倍数，将方程每一项同时乘以该最小公倍数，注意不要漏乘常数项，分子为多项式时要整体加括号，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴方程两边同时乘以6去分母，得：，B选项符合题意． 4．（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）将四个数，，，排列成，并且规定，若的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵规定， 又∵的值为， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某商品的成本为100元，若以标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_____元． 【答案】 【分析】设该商品的标价为元，根据利润售价进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设此商品的标价为x元， 则， 解得． 6．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）如果关于的方程和方程的解相同，则的值为____． 【答案】 9 【分析】先解第一个方程得到的值，再根据两个方程的解相同，将代入第二个方程求解即可. 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得. 因为两个方程的解相同，将代入得 ， 去分母得， 去括号得， 解得. 7．（25-26七年级下·重庆垫江·阶段检测）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 【答案】 【分析】先解关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示x，再根据x是非负整数、m为整数，确定所有符合条件的m的值，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【详解】解： 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵原方程有解， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数， ∴，且x为整数， 当时，把代入原方程得，此时等式不成立，故， 为正整数， ∴是负整数， ∵且是整数， ∴为负整数，且是的约数， 的可能取值为， ∴m的值是或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为． 8．（24-25七年级上·云南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）在解关于的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，求原方程正确的解． 【答案】 【分析】先将错就错，把错解代入看错后的方程求出的值，再将代入原方程即可求出原方程正确的解． 【详解】解：根据题意，把代入，得 解得， 把代入原方程，得 解得． 10．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测） 工厂加急加工零件，原计划每天加工60个，按期完成；实际每天多加工20个，结果提前3天完成．求这批零件总数量． 【答案】这批零件总数量为个． 【分析】设这批零件总数量为个，根据题意列方程，并求解即可． 【详解】解：设这批零件总数量为个， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：这批零件总数量为个． 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入原方程，得， 化简得， 移项合并同类项得， 解得． 2．（25-26九年级下·福建漳州·期中）2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】基数为2024年投诉数量，现量为2025年投诉数量，利用“现量基数(增长率)”的关系列方程． 【详解】解：∵设2024年福建省消协组织受理投诉的数量为万件， ∴2025年受理投诉的数量为万件． 又∵已知2025年受理投诉的数量为万件， ∴可列方程． 3．（25-26六年级下·上海金山·期中）有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，_______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“”，则横线上的信息是（     ） A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少 B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加 C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少 D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加 【答案】B 【分析】本题已知乙公司销量为，根据给出的方程整理变形，结合百分数应用题的数量关系，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设乙公司销售A型汽车辆，给出方程为， 整理方程得， 该式表示甲公司销量乙公司销量乙公司销量的， ∴甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】当输出的结果为75时，求出，再令，求出结果，然后令结果等于，直至找出不符合题意的结果，进而得出答案． 【详解】解：当输出的结果为75时，， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得（不符合题意，舍去）， 所以开始输入的m的值可能是35，15，5，一共有3种． 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴3和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·北京·期中）将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 【答案】 和3 【分析】（1）先计算这8个数的总和为4，再得到每一组四个数的和为2，据此求出与表示的这两个数的和即可； （2）根据题意可得，由（1）知，，则可能的组合是、或、，设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为，利用横直径，求出、表示的数，再利用竖直径，求出、表示的这两个数的和为1，从而确定可能表示的数． 【详解】解：（1）根据题意得：这8个数的总和为： 大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，大圆和小圆上数的总和、两条直径上数的总和都是这8个数总和， 每一组四个数的和为 ； （2）由题意得，已经使用的数是，1，4，剩余待填的5个数为：，，0，2，3， 由（1）知， 可能的组合是、或、， 设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为， 则， ， ， 当时，，不在剩余数中， 故此时情况不存在； 当时，， ， ， ， 当时，， 当时，， 表示的数的所有可能值为和． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）是新规定的一种运算法则：，例如：． (1)若，求x的值； (2)若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列方程求解即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ 整理得 移项得 解得 ； （2）解：由题意得， ， ∵ ∴ 整理得 解得 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值相等？ (2)当取何值时，的值比值的2倍大1？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得解； （2）根据题意可得，仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以5，得， 所以当时，A与B的值相等； （2）解：根据题意可知， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①②或4 (2)①②E点表示的数为，F点表示的数为999③点G表示的数为或1011.5 (3)， 【分析】（1）①求出折痕表示的数即可解答； ②根据数轴上的两点距离可进行求解； （2）①由点A与点C重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到E、F的距离都为1000，进而问题可求解； ③根据列出方程，求解方程可得出x的值． （3）由题意可知表示数n的点到P、Q两点的距离都为，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：∵表示数2的点与表示数的点重合， ∴折痕点表示的数为； ∵点表示的数为1， ∴点与表示数的点重合； ②这个数为或； （2）解：①由题意可得：折叠点对应的数为：， ∴与B点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴E点表示的数为：，F点表示的数为：． ③∵，设点G表示的数为x， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，点G表示的数为或1011.5． （3）解：由题意可得：表示数n的点到P，Q两点的距离都为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时方程每一项都要乘分母的最小公倍数，分子是多项式时去掉分母后要加括号． 【详解】∵ 原方程为 ，分母和的最小公倍数为， ∴ 方程两边同时乘去分母，得 ． 化简得 ， 整理得 ． 故选D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，用灰白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有4块白色地砖，第②个图案有7块白色地砖，第③个图案有10块白色地砖，…，按此规律，若第个图案中的白色地砖的数量是2026块，则的值为（     ） A．672 B．673 C．674 D．675 【答案】D 【分析】根据第①，②，③个图案中白色地砖的个数得出数字变化规律，再根据规律得出方程，求出解． 【详解】解：第①个图案有块白色地砖； 第②个图案有块白色地砖； 第③个图案有块白色地砖， 第n个图案中有块白色地砖，即2026块， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 5．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 【答案】 【分析】设需要这样的长方形纸片张，则粘合部分为个，根据要粘合长为的纸带，列出一元一次方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设需要这样的长方形纸片张， 由图可知，粘合部分比长方形纸片的数量少，即有个， ∵小颖需要粘合长为的纸带，， ∴， 解得：． ∴需要这样的长方形纸片张． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）低多边形风格是一种视觉艺术风格．其多边形内部一点，将该多边形分割成若干个三角形，填充不同颜色，便会产生立体光影效果，点数越多，层次更加丰富．如图，长方形内1个点，可分得4个三角形；有2个点，可分得6个三角形；有3个点，可分得8个三角形（不计被分割的三角形）；当长方形内有______个点时，可分得个三角形． 【答案】 【分析】本题考查的是图形的变化规律，正确找出三角形个数与长方形内点的个数的关系是解题的关键． 根据图中三角形个数与长方形内点的个数的关系总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由图可知：长方形内有1个点，则三角形个数为4个， 长方形内有2个点，则三角形个数为6个， ……， 长方形内有n个点，则三角形个数为个， 当三角形个数为个时， 则有 解得：， 长方形内有个点， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 【答案】(1)每本A类书刊进价8元，每本B类书刊进价10元 (2)B类书刊打折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）设类书刊打了折，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了折． 9．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 10．（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． 【答案】(1)不是 (2)点表示的数是0或 (3)当秒或秒时，点是的“倍点” 【分析】（1）根据“倍点”的定义判断即可； （2）根据“倍点”的定义得出，然后分点在线段上或在点左侧两种情况讨论即可； （3）分三种情况讨论：①在的右侧；②点位于，之间；③在点左侧，根据“倍点”的定义构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是6，原点表示的数是0， ∴，， ∴， ∴原点不是的“倍点”； （2）解：若点是的“倍点”，则，所以点在线段上或在点左侧． ①当在线段上时，，则点与原点重合，故点表示的数是0； ②当在点左侧时，，则，故点表示的数是； 综上，点表示的数是0或． （3）解：依题意，得点表示的数是，点表示的数是 分三种情况讨论如下： ①当时，在的右侧，此时，则不成立，舍去； ②当时，点位于，之间，此时，则，即，求得 ③当时，在点左侧，此时，则 即，求得 综上，当秒或秒时，点是的“倍点”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程 思维导图 4.1 等式与方程 方程的相关概念 等式：用等号「=」来表示相等关系的式子叫做等式。例如：3+2=5、x+3=5都是等式。等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则。 方程：含有未知数的等式叫做方程。方程满足两个条件：一是必须是等式，二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。例如：2x-1=3中，x是未知数，式子是等式，因此是方程；而2x-1只是代数式，3+2=5不含未知数，都不是方程。 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。例如：当x=2时，2x-1=3的左右两边相等，因此x=2是这个方程的解，也可以说x=2是这个方程的根。 检验方程的解的方法：①把未知数的值分别代入方程的左右两边；②计算左右两边的值；③比较左右两边的值是否相等，若相等，则这个值是方程的解，否则不是。 等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果a=b，那么a±c=b±c。例如：若x-3=5，两边同时加3，得到x=5+3即x=8，符合性质1。 等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc，= (c≠0)。需要注意这里的除数不能为0，另外如果两边同时乘整式，不要求整式不为0。 等式的其他性质：①对称性：如果a=b，那么b=a，即等式左右交换位置结果仍然是等式；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c，这个性质也叫做等量代换。 4.2 一元一次方程及其解法 一元一次方程的概念 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程满足四个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③方程是整式方程；④未知数的系数不为0。四个条件必须同时满足，例如2x+1=5是一元一次方程，而x²+2x-3=0未知数次数是2， +1=2分母含有未知数不是整式方程，x+y=3含有两个未知数，都不是一元一次方程。 一元一次方程的一般形式是：ax+b=0 (a≠0)，其中a是未知数的系数，b是常数项。 移项 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项的依据是等式的性质1，移项必须改变符号后再移到另一边，没有移项的项不需要变号。例如：解方程3x+5=4x+1，移项后得到3x-4x=1-5，这里的5和4x移项后都改变了符号，符合移项规则，不要错写成3x+4x=1+5这种错误形式。 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 等式性质2 不要漏乘不含分母的项；如果分子是多项式，去分母后要给分子加上括号 去括号 按照去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；不要漏乘括号内的每一项 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式性质1 移项必须变号，不移项的项不变号 合并同类项 把方程化成ax=b (a≠0)的形式 合并同类项法则 系数相加，字母和次数不变，计算要准确 系数化为1 在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a 等式性质2 分子分母不要颠倒，注意符号不要出错 在解一元一次方程时，并不是每一道题都必须按照这五步依次进行，要根据方程的具体形式灵活调整步骤，例如没有分母的方程不需要去分母，没有括号的方程不需要去括号。 常见特殊解的情况 对于一元一次方程化简后为ax=b的形式： 1. 当a≠0时，方程有唯一解x=b/a； 2. 当a=0且b≠0时，方程无解，因为0乘任何数都不可能等于非零数； 3. 当a=0且b=0时，方程有无数个解，因为0乘任何数都等于0。 4.3 用一元一次方程解决问题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1. 审：审题，找出题目中的已知量、未知量，分析各个量之间的关系，找到等量关系。审题是解题的基础，关键就是准确找到能够包含全部题意的等量关系。 2. 设：设未知数，一般分为直接设元（问什么设什么）和间接设元（设和所求问题相关的中间量为未知数）两种。设未知数时要说明单位，保证单位统一。 3. 列：根据找到的等量关系，把相关的量用含未知数的代数式表示出来，代入等量关系列出一元一次方程。列方程时要保证方程两边的量相等，单位统一。 4. 解：解这个一元一次方程，求出未知数的值。如果是间接设元，还要根据求出的未知数计算出题目要求的未知量。 5. 验：检验求得的结果，一方面要检验未知数的值是不是原方程的解，另一方面要检验结果是不是符合实际问题的意义，比如人数、个数不能是分数负数，时间长度不能为负等等，不符合实际的解要舍去。 6. 答：写出答案，回答题目所问的问题，注意不要漏写单位。 可以简记为「审、设、列、解、验、答」六个步骤。 常见实际问题类型及基本等量关系 1. 和差倍分问题 此类问题主要考查数量之间的和、差、倍数、分率关系，关键词有「多、少、共、倍、几分之几、增加、减少」等等。 基本等量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量×(1+增长率)，减少后量=原有量×(1-减少率)；和差关系一般根据关键词直接列等式即可。 例如：甲数比乙数多3，甲数是乙数的2倍，设乙数为x，则甲数为x+3，等量关系就是x+3=2x。 2. 行程问题 基本公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。 常见类型： · 相遇问题：相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程；相遇时两者用时相等（同时出发的情况下）。 · 追及问题：同向而行，追及路程=快者走的路程-慢者走的路程；追及时两者用时相等（同时出发的情况下）。 · 环形跑道问题：同向出发，每次相遇快者比慢者多跑一圈；反向出发，每次相遇两者路程和等于一圈的长度。 · 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，顺水路程=逆水路程（同一趟往返路程相等）。 3. 工程问题 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。 一般情况下，如果题目没有给出具体的工作总量，可以把总工作量设为1，那么各部分工作效率之和=总工作效率，各部分工作量之和=总工作量1。 例如：一项工程甲单独做需要3天完成，乙单独做需要6天完成，两人合作需要几天完成？甲的效率就是1/3，乙的效率是1/6，设合作x天完成，方程就是(1/3 + 1/6)x=1。 4. 销售盈亏问题 基本概念与公式： · 进价（成本价）：商家进货的价格；售价：商品卖出的价格；标价：商品标注的价格；利润：售价减去进价的部分；利润率：利润占进价的百分比；打折：按照标价的百分之几十出售，例如打八折就是标价×80%。 · 基本公式：利润=售价-进价=进价×利润率；售价=标价×打折率=进价×(1+利润率)；利润率=利润÷进价×100%。 5. 配套问题 配套问题的核心是配套的两种部件之间满足固定的数量比例关系，例如一个桌子配四个椅子，那么椅子总数=桌子总数×4，根据这个比例关系列方程。 例如：某车间有28名工人，每人每天生产12个螺栓或18个螺母，一个螺栓配两个螺母，安排多少工人生产螺栓刚好配套？设安排x名工人生产螺栓，那么生产螺母的是(28-x)名，螺栓总数是12x，螺母总数是18(28-x)，根据螺母是螺栓的2倍，得到方程2×12x=18(28-x)。 6. 储蓄利息问题 基本概念：本金是存入银行的钱，利息是银行给的酬金，本息和是本金加利息，利率是利息与本金的百分比，期数是存款的时间。 基本公式：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；如果计利息税，税后利息=本金×利率×期数×(1-利息税率)。 7. 数字问题 数字问题一般要设间接未知数，设中间数位的数字为x，然后用代数式表示出多位数：一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，这个两位数表示为10a+b；三位数，百位a，十位b，个位c，就是100a+10b+c，以此类推。 例如：一个两位数，十位数字比个位数字大2，十位和个位交换位置后新数比原数小18，求这个两位数，设个位数字是x，十位数字就是x+2，原数是10(x+2)+x，新数是10x+(x+2)，方程就是10(x+2)+x - [10x+(x+2)]=18。 8. 分段计费问题 分段计费问题的核心是不同区间的收费标准不同，要先判断未知数属于哪一个区间，再根据对应的收费标准计算总费用，根据总费用列方程。常见的有电费分段计费、水费分段计费、出租车计费、网购快递收费等等。 例如：某市出租车起步价是8元（3千米以内，含3千米），超过3千米的部分每千米1.5元，小明打车花费15.5元，求打车的路程。设路程是x千米，因为15.5>8，所以x>3，方程就是8 + 1.5(x-3)=15.5。 【类型一】等式与方程 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 3．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【类型二】等式的基本性质 1．下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【类型三】列方程 1．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 3．根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【类型四】方程的解 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 2．若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 3．若是关于的方程的解，则的值是_______． 【类型五】一元一次方程的定义与解 1．下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 3．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【类型六】解一元一次方程一移项 1．解方程：． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【类型七】解一元一次方程—去括号 1．解方程：． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．解方程：． 【类型八】解一元一次方程—去分母 1．解下列方程： 2．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 【类型九】一元一次方程的应用一配套问题 1．某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 2．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 3．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【类型十】一元一次方程的应用一年龄问题 1．父亲和女儿现在的年龄之和是55，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的，求女儿现在的年龄． 2．今年，小明的年龄是爷爷年龄的．小明发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的．试求出小明今年的年龄． 3．父亲和女儿现在年龄和是岁，年前父亲年龄是女儿年龄的倍还多岁． (1)求父亲和女儿现在的年龄分别是多少？ (2)多少年后父亲年龄是女儿年龄的倍？ 【类型一】一元一次方程中的程序问题 1．观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的的值为（   ） A．2或5 B．5 C．3或7 D．7 2．某数学爱好者设计了如下的程序，在计算机上按此程序计算．若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为1682，则满足条件的x最多有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是15，则输入x的值是________． 【类型二】一元一次方程的应用一古代问题 1．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半．”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）． A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八钱，盈三钱；人出七钱，不足四钱，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问有多少人？设有x人，根据题意，列出方程是________． 【类型三】一元一次方程的应用—数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 2．一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 3．我们知道：整数和分数统称为有理数．而无限循环小数属于分数，你知道为什么吗？请先看下面把无限循环小数化成分数的例题，然后解决问题： 【例】把循环小数化分数： 解：设 ① 则 ② ②①得： 所以 应用： (1)把循环小数化成分数（写出演算过程）． (2)直接写出下列循环小数化成分数后的结果： ① ；② ； ③ ． 【类型四】一元一次方程的应用—销售问题 1．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 2．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 3．2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 【类型五】一元一次方程的应用一行程问题 1．杭州到衢州的杭金衢高速全长290千米，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105千米，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 2．周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时（路上）．已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米．请问淮安到苏州距离是多少千米？ 3．甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？ 【类型六】一元一次方程的应用一几何问题 1．如图，长方形的周长为34，求长方形的长、宽． 2．如图，用8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），则每块地砖的宽为多少？ 3．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 【类型七】一元一次方程的应用一规律问题 1．如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？请说明理由． 2．【观察思考】一段墙体是由同一规格的方砖按照一定规律组合砌成的，图1给出了每层的组合方式：当中竖放1块方砖，就横放6块方砖（如图2）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图3）；以此类推． 【规律发现】已知方砖的长为，宽为．设一层里竖放的方砖有（为正整数）块． （1）这一层横放方砖的块数为_____________（用含的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1块时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2块时，墙体的长度为；…当竖放的方砖为块时，墙体的长度为___________m； 【规律应用】 （3）若需要砌一段长为的一层墙体，按照图中规律，求需要方砖多少块． 3．【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 【类型八】一元一次方程的应用—鸡兔同笼问题 1．（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 2．“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各有多少只？ 3．“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【类型九】一元一次方程的应用一工程问题 1．一件工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成，甲做2天后，乙来支援，问乙做多少天后工作任务完成了? 2．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 3．某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【类型十】一元一次方程的应用一收费问题 1．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 2．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【类型一】一元一次方程中的整数解 1．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 3．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【类型二】一元一次方程中的整体代入 1．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【类型三】一元一次方程的新定义运算 1．新趋势·新定义  对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．定义一种新运算：，若，则 x 的值为（   ） A．23 B． C．24 D． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：，例如：，若，则的值为___________． 【类型四】绝对值方程 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 3．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【类型五】一元一次方程的应用一月历问题 1．如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 2．在数学活动课上，李老师带领同学们一起探究2024年11月份的月历． 探究一： （1）如图1，小强同学在月历中画出带阴影的“口”字方框中的4个数，方框可以任意移动．小强设左上角的数为，按顺时针排列其它三个数分别为，，，小强发现，请你证明这个结论； 探究二： （2）如图2，小涛同学在月历中画出带阴影的十字方框，移动十字方框，小涛同学发现十字方框中的五个数的和是5的倍数，请你证明这个结论； 探究三： （3）如图3，小丽同学在月历中画出带阴影的“H”形框，移动“H”形框到某个位置时，她说框中的七个数字和为140，请你判断小丽的说法是否正确，并说明理由． 3．【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 【类型六】一元一次方程的新定义方程 1．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 2．若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 3．定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【类型七】数轴动点求t 1．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 2．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为3个单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，且线段，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，直接写出为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 3．[阅读材料] 数轴是初中数学的一个重要知识，数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些规律． 数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，若，则线段；线段的中点M表示的数是． [简单应用] 当数轴上点A表示的数，点B表示的数时， （1）线段________；线段的中点M表示的数是________； [拓展运用] （2）如图1，数轴上点A表示的数是，点D表示的数是10． ①当点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点D以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．求A，D两点重合时所表示的数是多少？ ②按上述方式运动，求t为何值时，线段等于4个单位长度； ③如图2，点B表示的数是，点C表示的数是3，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C，点D静止不动，设运动时间为秒，当线段的中点和线段的中点间的距离是线段的一半时，直接写出t的值． 1．（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解方程 ，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）将四个数，，，排列成，并且规定，若的值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某商品的成本为100元，若以标价的8折出售，仍可获利，则该商品的标价为_____元． 6．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）如果关于的方程和方程的解相同，则的值为____． 7．（25-26七年级下·重庆垫江·阶段检测）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 8．（24-25七年级上·云南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）在解关于的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，求原方程正确的解． 10．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测） 工厂加急加工零件，原计划每天加工60个，按期完成；实际每天多加工20个，结果提前3天完成．求这批零件总数量． 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 2．（25-26九年级下·福建漳州·期中）2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·上海金山·期中）有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，_______，问乙公司“五一黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为“”，则横线上的信息是（     ） A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少 B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加 C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少 D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加 4．（25-26七年级下·重庆·期中）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 7．（25-26七年级下·北京·期中）将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）是新规定的一种运算法则：，例如：． (1)若，求x的值； (2)若，求y的值． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，解答下列问题： (1)当取何值时，与的值相等？ (2)当取何值时，的值比值的2倍大1？ 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，用灰白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有4块白色地砖，第②个图案有7块白色地砖，第③个图案有10块白色地砖，…，按此规律，若第个图案中的白色地砖的数量是2026块，则的值为（     ） A．672 B．673 C．674 D．675 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）低多边形风格是一种视觉艺术风格．其多边形内部一点，将该多边形分割成若干个三角形，填充不同颜色，便会产生立体光影效果，点数越多，层次更加丰富．如图，长方形内1个点，可分得4个三角形；有2个点，可分得6个三角形；有3个点，可分得8个三角形（不计被分割的三角形）；当长方形内有______个点时，可分得个三角形． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）为了迎接新学期，书店计划购进A，B两类书刊，A类书刊和B类书刊的售价分别是15元/本和20元/本，且每本B类书刊的进价比每本A类书刊贵2元．已知购买300本A类书刊和200本B类书刊共需要4400元． (1)每本A类书刊、B类书刊的进价各是多少元？ (2)因销售情况良好，书店又购进A类书刊350本，B类书刊250本．为了更快售罄，书店决定在保持A类书刊售价不变的基础上，对B类书刊打折出售．若这600本书刊全部售完后总利润为4200元，则B类书刊打几折？ 9．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 10．（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． 学科网（北京）股份有限公司 $