精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高二下学期期末质量调查数学试卷

天津一中2025-2026-2高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的并集运算求解即可． 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 2. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【详解】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 3. 已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先比较a,b,c的大小关系，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【详解】因为所以； 因为，所以；故 偶函数在,上单调递增，故，即 故选：B. 4. 若，则=（ ） A. 244 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解. 【详解】根据， 令时，整理得： 令x = 2时，整理得: 由①+②得，，所以. 故选：D. 5. 已知函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象关于轴对称 B. 在定义域内只有1个零点 C. 在为单调增函数 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，解方程得到零点；C选项，举出反例可得C错误；D选项，时，由基本不等式可得范围，结合函数的奇偶性和可得答案. 【详解】A选项，定义域为， 又，故为偶函数，图象关于轴对称，A正确； B选项，令得，解得，在定义域内只有1个零点，B正确； C选项，，，故， 在不为单调增函数，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，又当时，，故此时， 又因为为偶函数，，综上，的值域为，D正确. 6. 现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可. 【详解】根据题意可知， 第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率， 则, 故选：D. 7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 8. 函数在区间上的最大值与最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数讨论函数单调性，然后可得最值. 【详解】由题意，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又因为，，， 所以的最大值与最小值分别为与． 故选：A． 9. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性分段考虑，借助于二次函数的单调性和求导判断单调性法列出不等式，综合考虑即得. 【详解】由题意，当时，为减函数，则有，即①； 当时，为减函数，即在上恒成立， 即在上恒成立，因函数在上恒有，故得，即②； 又由函数在上单调递减，可得，解得③， 综上①②③，可得实数的取值范围是. 故选：D. 10. 对任意正整数，定义的双阶乘：当为偶数时，； 当为奇数时，，则下列四个命题中正确的是（ ） ①； ②； ③的个位数字为0； ④的个位数字为5 A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据双阶乘的定义，逐一验证四个命题的正误，即可确定正确选项. 【详解】根据双阶乘的定义，逐项分析如下： 对于命题①：当为偶数时，设，则. 取，得，故，①错误； 对于命题②：是1到209所有正奇数的乘积，是1到208所有正偶数的乘积， 因此，②正确； 对于命题③：的乘积项中包含因数10，因此是的正整数倍，个位数字为，③正确； 对于命题④：的乘积项中包含因数，且所有乘积项均为奇数， 因此是5的奇数倍，个位数字只能为，④正确， 综上，②③④正确. 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 12. 某班有45名学生，最近一次数学考试成绩服从正态分布，若的学生人数为18，则_____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合对应区间的人数占比计算所求概率. 【详解】已知成绩服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为， 区间关于对称，因此， 设，则. 由的人数为18，总人数为45，可得该区间的频率为， 用频率估计概率得，解得，即. 13. 已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，设，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据周期性将转化为已知区间内的函数值，再结合函数的奇偶性和分段函数的表达式进行计算. 【详解】因为，所以函数的周期为4. 又是定义在上的奇函数，所以，且， ， ，， 根据周期性可得，又因为为奇函数， 所以，故，所以， 因为当时，，所以， 所以. 故答案为：2 15. 某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______  种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分配模式为1，1，2或0，1，3或0，2，2，三种情况讨论，由排列、组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. 16. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】结合函数的图像和值域，函数图象，再分类讨论解的个数，验证边界情况即可求解. 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数． （1）求的最值． （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案； （2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率，根据已知结合斜率的公式即可得出，联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案． 【小问1详解】 由已知可得，的定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在处取得唯一极小值，也是最小值， 又， 所以的最小值为，无最大值． 【小问2详解】 设切点为，则， 根据导数的几何意义可知， 曲线在处的斜率， 则， 所以， 整理可得， 设， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以存在唯一零点， 所以的唯一解为， 所以切点，此时斜率为， 所以切线方程为，整理可得切线方程为． 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率； （2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列； （3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式可求； （2）根据题意分四种情况求分布列即可. （3）求对立事件“玩三盘游戏全都没出现出现音乐”的概率再求解即可. 【详解】（1）若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得分的概率为：； （2）可能的取值为，，，．根据题意，有 ，， ，． 所以的分布列为： （3）设“第盘游戏没有出现音乐”为事件（，则 ． 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为： ． 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，设函数，求证：函数存在唯一极小值点，且．（数据：） 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增 （2）当时，，则，， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为，，故在存在唯一零点， 因为当时单调递减，所以时，即，单调递增； 时，即，单调递减，故在处取极大值； 因为，，故在存在唯一零点， 因为当时单调递增，所以时，即，单调递减； 时，即，单调递增，故在处取极小值. 综上，函数存在唯一极小值点，即. 因为，所以，， 因为为的极小值点，所以，即，代入得， 因为在时单调递减，且，， 故 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用导数研究函数的极小值，再利用隐零点求极小值的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，得；令，得. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略. 20. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：． 【答案】（1）在上单调递减，理由如下： 当时，， ，， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以， 所以，所以在上单调递减. （2） （3）证明：由（2）可知，当，时，恒成立， 即时，恒成立， 下证：， 时， ， 由上述分析可知，，即，则， 所以 ， ，即得证. 【解析】 【分析】（1）利用多次求导的方法来判断出在上的单调性. （2）利用多次求导的方法，结合恒成立，列不等式来求得的取值范围. （3）根据（2）的结论，得到，求得的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的前项和公式证得不等式成立. 【小问1详解】 在上单调递减，理由略 【小问2详解】 当时，恒成立①， 当时，②， ，设， 时， ，设， 当时，， ， 要使①恒成立，由于②，则需恒成立， 所以恒成立，所以，. 此时， 在上单调递增，， 在上单调递增，， 在上单调递增， 使得恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略. 【点睛】思路点睛： 用导数分析单调性：首先对函数进行多次求导，通过分析导数符号来判断函数在不同区间的单调性，这一步为后续的不等式恒成立条件的推导奠定了基础. 结合不等式求参数范围：通过设定不等式恒成立，结合函数的单调性，逐步推导出参数 的取值范围. 利用等比数列和斜率关系进行证明：在小问3中，通过对等比数列的求和以及利用斜率条件，成功证明了所需的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-2高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A. B. C. D. 4. 若，则=（ ） A. 244 B. 1 C. D. 5. 已知函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象关于轴对称 B. 在定义域内只有1个零点 C. 在为单调增函数 D. 的值域为 6. 现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（ ） A. B. C. D. 7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 8. 函数在区间上的最大值与最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意正整数，定义的双阶乘：当为偶数时，； 当为奇数时，，则下列四个命题中正确的是（ ） ①； ②； ③的个位数字为0； ④的个位数字为5 A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 在的展开式中，的系数为_________． 12. 某班有45名学生，最近一次数学考试成绩服从正态分布，若的学生人数为18，则_____________． 13. 已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，设，则________． 15. 某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______  种. 16. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数． （1）求的最值． （2）求曲线过点的切线方程． 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率； （2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列； （3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，设函数，求证：函数存在唯一极小值点，且．（数据：） 20. 已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $