25.2.2公式法 假期自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法核心，分层设计基础巩固、中档提升、综合应用三阶练习，通过判别式计算、参数分析及几何情境应用，培养运算能力与推理意识，适配暑假自主学习知识进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算、根的情况判断|直接应用概念，如单选1-4判断根的情况| |中档|参数取值范围、公式法解方程|结合参数分析，如解答15用公式法解方程| |提升|几何与实际问题综合应用|融入平行四边形、等腰三角形情境，如解答18-20|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.2公式法》假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 二、填空题 8．一元二次方程的根的判别式的值是___________． 9．关于的方程的，则________． 10．方程无实数根，则点位于第______象限． 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是_________． 12．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 13．关于的方程有实数根，则的取值范围：________． 14．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 三、解答题 15．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 16．如果一元二次方程有一个根为，且根的判别式为，求、的值． 17．已知：关于的方程． (1)取何值时，方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根． (2)取何值时，方程有实数根？ 18．已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m为何值时，平行四边形是菱形？并求出此时菱形的边长． 19．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 20．已知等腰三角形的其中两边长是关于x的方程的两个实数根． (1)若，求的周长． (2)若为等边三角形，求的值和三角形的周长． 参考答案 1．解：A、方程为，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、整理得，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、整理得，，，， ， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、方程为，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．解：， ， 方程没有实数根 3．解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴ 解得， 观察选项，只有A选项的满足题意． 4．解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 5．解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 6．解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 将代入得 ， 整理得，即， ∴， 将代入得 ， ∴，即，故C正确． ∴，，，故A错误、B错误、D错误． 7．解：A选项：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； B选项：∵， ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， 则无法得到方程的根的个数，故本选项错误，符合题意； C选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； 8．3 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为，先把原方程化为一般式得到，，，然后计算即可． 【详解】解：方程化为一般式为， ∵，，， ∴． 故答案为：3． 9． 【分析】本题考查一元二次方程判别式，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程判别式列式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：方程中， ，，， ． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 10．四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 11．1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， ∴最小的整数值为1， 故答案为：1． 12．10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，二次根式有意义的条件，解一元一次方程，当时，原方程是一元一次方程，解方程可得方程有实数根；当时，原方程是一元二次方程，利用根的判别式求出k的取值范围，再根据二次根式有意义的条件进一步确定k的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：当时，原方程为，解得，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 则， 解得， 又∵，即， ∴， ∴且． 综上，的取值范围为， 故答案为：． 14．没有 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 15．(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 16．， 【分析】此题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练运用根的判别式列出方程是关键． 将代入方程，得到关于、的一个方程，再根据根的判别式为列出关系式，得到第二个关于、的方程，将两个方程联立，解出、的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， ①， 又根的判别式为， ， 即②， 由①得：， 把代入②得：，即， 解得， 代入①得：， 所以，． 17．(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程和一次方程根的求解： （1）根据一元二次方程根的情况，利用其判别式即可求解； （2）分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程， ∴， 解得， ∴方程为，即， ∴方程的两根为； （2）解：当时，方程变为一元一次方程，此时方程有实数根； 当时，此方程是一元二次方程， ∵关于的方程 有实根， ， 解得． 且； 综上所述，时，方程有实数根． 18．，菱形的边长为4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】解：∵平行四边形是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ∴，即菱形的边长为 4 ； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是 4 ． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 20．(1) (2)；的周长为9 【分析】（1）分腰为3，腰为7两种情况讨论等腰三角形边长，再求三角形的周长． （2）因为等边三角形三边相等，所以方程有两个相等实数根，故．转化为关于m的方程求解，再将m的值代入原方程，求出方程的解，再求三角形的周长． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即． 因式分解得：， 解得，． 分情况讨论等腰三角形边长： 若腰为3，底为7时，，不满足三角形三边关系，应舍去， 若腰为7，底为3时，，满足三边关系，周长为． 所以的周长为． （2）因为等边三角形三边相等，所以方程有两个相等实数根， 故． 所以 ， 解得：， 代入方程得， 解得：， 所以的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $