25.3实际问题与一元二次方程（第3课时）

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决循环赛问题，课堂导入通过复习几何、传染病等实际问题类型，以排球邀请赛单循环赛制为例，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生建立方程模型。 其亮点在于通过合作探究双循环场数判断、中考真题演练及握手、多边形对角线等多样练习，培养模型意识、推理能力和应用意识。采用问题驱动教学，小结系统梳理建模步骤与方程解法，助力学生形成结构化知识，教师可借分层练习提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元 二次方程(第3课时） 学习目标 1 2 能正确列出关于循环赛问题的一元二次方程． 进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 ax2+bx+c=0 实际问题 实际问题的答案 降次 设未知数,列方程 解 方 程 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 x= 检验 配方法 公式法 因式分解法 ... 几何问题 传染病问题 增长率问题 建模 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,组织者应该邀请多少支球队参赛？ 分析：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x−1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场， 所以可列得方程 ， 整理并化简，得 . x(x−1) x(x−1)=28 x2−x−56=0 解方程，得 . 因此，比赛组织者应邀请 支球队参赛. x1=8，x2=−7(不合题意，舍去) 8 1 复习引入 单循环 2 合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 . n(n−1) n(n−1)=300 n= 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 双循环 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 . 解方程，得 . 2 合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 . n(n−1) 由总场数为n(n−1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，…，240，272，306，…. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 2 合作探究 归纳总结 n支球队进行单循环比赛，比赛总场数为 . n支球队进行双循环比赛，比赛总场数为 . n(n−1) n(n−1) 3 典例分析 中考演练（2026湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A．n(n−1)=136 B．n(n−1)=136 C．n(n+1)=136 D．n(n+1)=136 A 单循环 3 典例分析 中考演练（2026四川凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A．x(x−1)=72 B．x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x+1)=72 B 双循环 3 典例分析 中考模拟（2024广东）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A．2x(x+1)=79800 B．2x(x−1)=79800 C．x(x−1)=79800 D．x(x+1)=79800 C 单循环 1.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人? 4 巩固练习 解：根据题意列方程，得 n(n−1)=10， 解得 n1=−4（舍去），n2=5. 答：共有5人. 单循环 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明理由. 4 巩固练习 解：设n边形共有20条对角线，根据题意列方程，得 n(n−3)=20， 解得 n1=−5（舍去），n2=8. 所以八边形共有20条对角线. 单循环 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明理由. 4 巩固练习 解：设m边形共有18条对角线，根据题意列方程，得 m(m−3)=18， 解得 m=（结果不是整数，舍去）. 所以不存在有18条对角线的多边形. 单循环 4 巩固练习 3. 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有x人，根据题意列方程并化为一般形式：__________． x2−x−90=0 单循环 4 巩固练习 4. 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 9 双循环 1.若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点A，B，C，则可以确定____条线段，____条射线； 5 当堂检测 3 6 1.若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (2)若平面上有四个点A，B，C，D，则可以确定____条线段，________条直线； 5 当堂检测 6 1或4或6 当四点共线时 当有3个点共线时 当有2个点共线时 2.某项科技取得突破，将两两互通的信息连接转化为借助中转进行信息连接，节省了连接的通道．例如有五个用户，按图1两两连接时需建立10个通道，而按图2借助中转点O连接时，只需5个通道（通道指的是图中的线段）． (1)若有6个用户，则两两连接比中转 连接多用______条通道； 5 当堂检测 9 15条 6条 2.某项科技取得突破，将两两互通的信息连接转化为借助中转进行信息连接，节省了连接的通道．例如有五个用户，按图1两两连接时需建立10个通道，而按图2借助中转点O连接时，只需5个通道（通道指的是图中的线段）． (2)若某网络空间有若干个用户采用中转点连接比两两连接少了135个通道，求该空间的用户数． 5 当堂检测 4 巩固练习 解：设该空间的用户数为x人， 则两两连接时需建立的通道数为+x，中转连接时需建立的通道数为x， 可列方程，+x−x=135， 整理得：x2−3x−270=0，即(x−18)(x+15)=0， 解得：x1=18，x2=−15（舍去）， 答：该空间的用户数为18人． 6 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 实际问题 实际问题的答案 降次 设未知数,列方程 解 方 程 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 x= 检验 配方法 公式法 因式分解法 几何问题 传染病问题 增长率问题 循环赛问题 建模 7 布置作业 A B 习题25.3：第3题. 习题25.3：第9题. $