精品解析：天津市西青区2024-2025学年高一下学期期末学业质量检测数学试卷

2024～2025学年度第二学期______学校学业质量检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间100分钟，满分120分. 第Ⅰ卷（40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形ABCD中， （ ） A. B. C. D. 2. 复数，则为（  ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）. A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 相等的角在直观图中仍然相等 C. 一个直角的直观图仍是一个直角 D. 平行的线段在直观图中仍然平行 4. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 5. 已知100个数据的25百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ） A. 这100个数据中一定有25个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第26个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第24个数据平均数 6. 设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 8. 如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（ ）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 一个射击运动员打靶6次环数为9，5，7，8，6，7，下列四个结论：①这组数据的平均数为7；②这组数据的众数为7；③这组数据的中位数为7；④这组数据的方差为.以上四个结论正确的个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 第Ⅱ卷（80分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 已知为虚数单位，则复数________. 12. 平面向量，在上的投影为，则______. 13. 已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为______. 14. 学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题有人答对的概率是______. 15. 有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为______. 16. 已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量______；的值为______. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B.C所对的边分别为a，b，c.已知，，求角A和角B值. 18. 已知向量，满足，. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求m的值. 19. 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； （2）采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 20. 如图，直三棱柱中，，，D为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期______学校学业质量检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间100分钟，满分120分. 第Ⅰ卷（40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形ABCD中， （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则，  故选：B. 2. 复数，则为（  ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数乘法运算法则求得，再根据复数模的定义即可求解． 【详解】因为，所以， 故选：C． 3. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）. A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 相等的角在直观图中仍然相等 C. 一个直角的直观图仍是一个直角 D. 平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则判断. 【详解】根据斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，A错； 直角的一条边与轴平行，另一条边与轴平行，则其直观图变为或，BC均错； 平行的线段在直观图中仍然平行，D正确。 故选：D. 4. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得. 【详解】∵，，， ∴根据正弦定理，得： ， 又，得到，即， 则或． 故选：C 5. 已知100个数据的25百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ） A. 这100个数据中一定有25个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第26个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第24个数据的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据第25个数据和第26个数据的平均数为第25百分位数，结合百分位的定义求解即可. 【详解】因为100×25%=25为整数，第25个数据和第26个数据的平均数为第25百分位数， 所以这100个数据中一定有25个数小于或等于9.3，故A正确； 所以第25个数据和第26个数据的平均数为第25百分位数，是9.3，所以第25个数据不一定是9.3，故B错误； 根据百分位数的定义，可知这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第26个数据的平均数，故C正确，D错误. 故选:AC. 6. 设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确. 故选：D. 7. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确. 故选：C. 8. 如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（ ）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明平面，得证，即可确定异面直线所成角大小，再证明是平面与平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论． 【详解】面，面，则，同理，， 是正方形，则， 平面，所以平面， 又平面，所以，即异面直线与所成角的大小为，这时可确定只有选项A正确； 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而，所以，即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：A． 9. 一个射击运动员打靶6次的环数为9，5，7，8，6，7，下列四个结论：①这组数据的平均数为7；②这组数据的众数为7；③这组数据的中位数为7；④这组数据的方差为.以上四个结论正确的个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本数据的特征并判断即可. 【详解】打靶6次的环数由小到大排列为5，6，7，7，8，9， 平均数，众数为7，中位数为，①②③正确； 方差为，④正确. 故选：D 10. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得． 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 第Ⅱ卷（80分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 已知为虚数单位，则复数________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数除法化简即可得. 【详解】. 故答案为： 12. 平面向量，在上的投影为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】在上的投影为，则，所以， 故答案：． 13. 已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据正方体的对角线是外接球的直径求得棱长，然后可得表面积． 【详解】设正方体的棱长为，则其对角线为其外接球的直径，所以外接球的半径为， 由已知，， 所以正方体表面积为， 故答案为：18. 14. 学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题有人答对的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出两人都答错的概率，然后由对立事件概率公式计算. 【详解】由题意两人都答错的概率是， 所以有人答对的概率为， 故答案为：. 15 有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】由抽样、简单随机抽样的概念、独立重复试验的概率公式、分层抽样的概念分别判断各说法． 【详解】①只抽取高一年级学生就不合理，同样只抽取一个学校的数据也不合理，因此不合理； ②根据简单随机抽样的概念，正确； ③事件A发生概率为​，重复做100次试验，“事件A恰好发生1次” 的概率较大，但不是必然发生，只是一种可能结果，实际试验中，事件A发生次数是随机的，可能0次、1次、2次等 ，错误； ④由分随机抽样知平均身高约为，正确， 故答案为：②④ 16. 已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量______；的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由平面向量线性运算法则表示出，再利用数量积的运算律及定义计算． 【详解】因为点D，E分别为，的中点，所以，又， 所以， 所以， ， 故答案为：；． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B.C所对的边分别为a，b，c.已知，，求角A和角B值. 【答案】， 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理求得． 【详解】∵， 由余弦定理得， ∵，∴. ∵，由正弦定理得： ∵，∴. ∵，∴（或）， ∴. 18. 已知向量，满足，. （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求m的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先设，再根据向量共线及模长公式列式计算求解； （2）先应用线性坐标运算，再结合垂直的数量积坐标运算计算求出参数. 【小问1详解】 设单位向量，则， 由已知单位向量与共线，可得， ，解得或， 所以向量的坐标为，. 【小问2详解】 ， ， ∵与垂直，∴， ， ，，解得. 19. 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； （2）采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取的人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 【答案】（1），70分钟 （2）①3人，4人；②答案见解析；③． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得，再求出频率分布直方图频率对应的时长即为中位数； （2）①根据分层抽样的概率确定人数；②用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率；③同样用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率 【小问1详解】 ，解得, 由图可知中位数在内，设中位数为x， 则有， 故，即中位数估计为70分钟. 【小问2详解】 ①时长在内的有人， 时长在内的有人， 由分层随机抽样可知，在区间应抽取3人，在区间应抽取4人. ②设在区间抽取样本记为a，b，c， 在区间抽取样本，记为A，B，D，E， 从中任取2人，试验的样本空间为： ， （也可这样表示） 共21个样本点. ③设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数” ， （也可这样表示） 共15个样本点. ∴， ∴随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝人数的概率为. 20. 如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【小问1详解】 证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 【小问2详解】 证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. 【小问3详解】 取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$