第25章 一元二次方程 假期自主学习基础训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，以“概念辨析-解法训练-性质应用-实际建模”为逻辑主线，系统整合定义、解法、判别式、韦达定理及应用，突出换元法、整体代入等迁移性技巧，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|定义判断/换元转化|从整式方程定义到分式方程转化，构建概念网络| |解法应用|3题|配方法/因式分解法|原理推导（配方步骤）→技能训练（不同方程选法）| |性质应用|5题|判别式/韦达定理/整体代入|根的性质（判别式）→数量关系（韦达定理）→代数式求值| |实际应用|7题|增长率模型/几何建模/经济利润|实际问题抽象为方程模型，发展应用意识与运算能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》 假期自主学习基础训练题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 3．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B． C．2 D．4 4．用配方法将一元二次方程化为（、为常数）的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 6．电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A． B． C． D． 7．如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 二、填空题 8．若一元二次方程的两根为则这个方程可以是___________(写出一个即可)． 9．已知，是方程的两个根，则______． 10．定义新运算“”，对于实数a和非零实数b，规定，若，则__________． 11．若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______． 12．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 13．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 14．如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是______米． 三、解答题 15．解下列方程： (1) (2) 16．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 17．已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 18．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．求通道的宽是多少米． 19．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 20．在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 参考答案 1．D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中未说明，当时方程不是二次方程，故A不符合要求； 选项B中分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C整理方程：左边展开得，原方程变为，移项整理得，是一元一次方程，故C不符合要求； 选项D中，是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故D符合要求． 2．D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 3．A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴ 根的判别式满足， 解得． 4．A 【详解】解：∵原方程为 移项得， 两边同时加一次项系数一半的平方得， 整理得，． 5．B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 6．D 【分析】依次求出三天的票房，再根据前三日票房累计为15亿元列出方程即可． 【详解】解：∵第一天票房为3亿元，每天票房的增长率为x， ∴第二天票房为亿元 第三天票房为亿元 ∵前三日票房累计约为15亿元 ∴将三天票房相加，可列方程得． 7．C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 8．(答案不唯一) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握“若一元二次方程的两根为、，则该方程可表示为”．先根据两根写出因式形式的方程，再取为任意非零常数(如)，展开整理即可得到满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴设该方程为， 取，则方程为， 展开整理得：； 故答案为：(答案不唯一)． 9． 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用韦达定理代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 10．或 【分析】本题主要考查了新运算定义、解一元二次方程等知识点，掌握运用直接开平方解一元二次方程是解题的关键． 先根据新运算的定义将转化为，再解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， ∴． ∵， ∴． ∴或，即或． 故答案为：或． 11．8 【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得到两根之和的值，再结合长方形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， ∵长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根， ∴． ∴长方形的周长为． 12．， 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 13． 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，则剩余停车场是一个长为米，宽为米的长方形，据此根据长方形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设边和边减少的长度是x米． 由题意得，， 整理得 解得，（不符合题意，舍去） ∴边和边减少的长度是3米． 故答案为：3． 15．(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题关键． （1）通过配方法将方程化为完全平方形式，再对等式两边同时开平方求出方程的解； （2）先移项，再提取公因式，将方程因式分解为两个一次式的乘积，再分别令两个一次式为求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， ， 则， 解得，． （2）解：已知， ， ， 则或， 解得，． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 17．(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 18．3米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设通道的宽为x米，表示出阴影部分的总长度与总宽度，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 则阴影部分的总长度为米，总宽度为米， ∵喷漆面积为1056平方米， ∴， 整理可得，， 即， 解得，（舍）， 答：通道的宽为3米． 19．(1) (2)3 (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示； 对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可； 对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断． 【详解】（1）根据题意可知，则． 故答案为：； （2）由（1）知，，根据勾股定理，得 ， 即， 解得或（舍去）， 所以同时出发3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： ， ， ∵ ∴该方程无解． 所以的面积不能等于7． 20．(1) (2)降价8元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为，然后根据增长率计算公式建立方程求解； （2）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，再根据利润公式建立方程求解． 【详解】（1）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价8元时，月销售利润达8400元． 学科网（北京）股份有限公司 $