25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过复习一元二次方程概念、解法及列方程解应用题步骤，搭建前后知识联系，为新知学习提供支架。 其亮点是结合合作探究（如连续正整数直角三角形、矩形面积问题）和一题多解，培养数学眼光（抽象数量关系）与数学思维（推理运算），课堂小结流程化呈现解决步骤，助力学生形成模型意识，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元 二次方程(第1课时） 学习目标 1 2 能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程． 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 转化 公式法 应用 因式分解法 根与系数的关系 x1+x2=，x1·x2=. 1 复习引入 列方程解应用题的一般步骤是什么？ ①审题，明确已知和未知； ②设未知数； ③找相等关系，列方程； ④解方程； ⑤检验根的合理性； ⑥作答. 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 审 设 列 解 验 答 2 合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x 为正整数. 本题中的数量关系是什么？ 2 合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x 为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=−1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 2 合作探究 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m； 本题中的数量关系是什么？ 2 合作探究 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m； 由矩形的面积为96 m2，得x(20−x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 2 合作探究 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m. 由矩形的面积为96 m2，得x(20−x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 2 合作探究 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，小组讨论并分享你的新方法. 请根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2，比较这些设法，说说它们各自的特点. (1) 可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 2 合作探究 解法2：设一边长为x m，那么其邻边长为 m. 由矩形的周长为40 m，得2(x+)=40. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 2 合作探究 解法3：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 由矩形的面积为96 m2，得(10+x)(10−x)=96. 解方程，得x1=2，x2=−2. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 所以，10+x=12或8. 2 合作探究 一元二次方程 ax2+bx+c=0 实际问题 实际问题的答案 降次 设未知数,列方程 解 方 程 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 x= 检验 配方法 公式法 因式分解法 解：设小路的宽度为x m，由题意得， (20−4x)(14−4x)=24×9， 解得x=或x=8（舍去）， 答：小路的宽度为 m． 3 典例分析 中考演练（2025山东威海）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 3 典例分析 中考模拟（2026内蒙古通辽）如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总 面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为 ． 米或5米 4 巩固练习 1. 怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75 m2的矩形区域?能围成一个面积为101 m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m. 由矩形的面积为75 m2，得x(20−x)=75. 解方程，得x1=15，x2=5. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为75 m2的矩形区域，其两邻边长分别为5 m，15 m. 4 巩固练习 1. 怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75 m2的矩形区域?能围成一个面积为101 m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 由矩形的面积为101 m2，得x(20−x)=101. 化为一般式，得x2−20x+101=0， 因此，用一根长为40 m的细绳不能围成面积为101 m2的矩形区域. 因为Δ=(−20)2−4×1×101=−4<0， 所以此方程无解. 4 巩固练习 2. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角? 解：若∠DEC为直角，则DE2+CE2=CD2. 设AE为x ，则BE=4−x，由题意得， 12+x2+(4−x)2+12=42， 解得x=2+或2−， 答：AB上存在点E，使得∠DEC为直角，此时AE的长为2+或2−. x 4−x 如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形ABCD菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设AB=x，矩形ABCD的面积为y. (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． 5 当堂检测 解：根据题意得，y=x(28−2x+2)=−2x2+30x； 当y=100时，即−2x2+30x=100， 整理得：x2−15x+50=0， 解得：x1=5，x2=10， ∵墙长15米， 当x=5时，30−2x=20>15，不符合题意， 当x=10时，30−2x=10，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． 5 当堂检测 如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形ABCD菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设AB=x，矩形ABCD的面积为y. (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 5 当堂检测 解：当y=120时，即−2x2+30x=120， 整理得：x2−15x+60=0， Δ=(−15)2−4×1×60=−15<0， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 5 当堂检测 6 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 实际问题 实际问题的答案 降次 设未知数,列方程 解 方 程 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 x= 检验 配方法 公式法 因式分解法 几何问题 ... 7 布置作业 A B 习题25.3：第1，2题. 习题25.3：第5，6，7题. $