25.2.1 配方法 假期自主学习同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦配方法核心技能，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，构建从概念理解到迁移应用的完整知识巩固路径，适配暑假自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|配方法步骤、直接配方运算|单选1-4直接考查配方变形，填空7-10强化配方常数项确定，解答15-16规范解题流程，培养运算能力| |综合层|含参数方程、配方与方程根关系|单选5-6结合方程根逆向推理，填空11-13涉及参数取值与方程变形，解答17-18验证方程类型及新解法应用，发展推理意识| |提升层|新定义问题、跨知识整合|填空14"同族二次方程"融合配方与最值，解答19-20将配方与因式分解、代数式最值结合，体现创新意识与模型观念|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.1配方法》假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 5．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 6．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 7．（1）____________； （2）____________． 8．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 9．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 10．已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 11．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 12．若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 13．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 14．定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 三、解答题 15．利用配方法解方程：． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)配方，得＋____________，得（______）＝______， (2)降次，可得______＝______， (3)解得______，______． 16．用配方法解方程 (1)； (2)． 17．试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 18．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得． ． 直接开平方，得我们称这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 19．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 20．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 2．C 【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论． 【详解】解：， ∴， ∴． 3．C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 4．D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 6．A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 7． 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 8． 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 9．3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 10．1 【分析】将配方后的方程展开为一般形式，根据对应系数相等求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将展开，得 ， 一元二次方程可以配方成， 由对应系数相等可得， 解得，， 将，代入，得． 11． 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 12．， 【分析】将方程变形为相同的形式，再换元求解即可． 【详解】解：方程变形为，看作关于的方程， ∵方程（、为常数）的解是，， ∴，， 解得：，． 13．或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 14．2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 按照配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：配方，得，得， 故答案为； （2）解：降次，可得， 故答案为； （3）解得． 故答案为． 16．(1)， (2)， 【分析】用配方法计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ，． 17．见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 18． 【分析】根据题意利用平方差公式以及“平均数法”解方程． 【详解】解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得． 19．(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 20．(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）仿照题干所给方法计算即可得出结果； （2）利用配方法将所求式子变形为，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $