精品解析：山西朔州市2025-2026学年度第二学期期末八年级学情调研数学

怀仁市2025—2026学年度第二学期期末八年级学情调研 数学 （满分：120分 调研时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记圆形水波的半径为r，圆面积为S，圆周率为，则其中常量是（ ） A. B. C. D. ，， 2. 在实数范围内，二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ） A. 天元术 B. 正负术 C. 勾股定理 D. 杨辉三角 4. 学校为丰富课后服务，开设了绘画、书法、篮球、足球等课后服务社团．学期末开展投票活动评选“最受欢迎的社团”，全体参与投票的学生每人一票，仅可选择一个社团．统计投票结果时，最需要关注的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一定条件下，温度T（单位：）对大棚内某植物光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 温度越高，光合作用产氧速率越快 B. 温度越高，呼吸作用耗氧速率越快 C. 若要光合作用产生的氧气最多，则大棚内温度应该设置为 D. 当温度为时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（ ） A. 组内离差平方和最小 B. 组内离差平方和最大 C. 组间离差平方和最小 D. 组间的平均数差最小 9. 若关于x的一元一次不等式（）的解集为，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 八（1）班、八（2）班学生进行了仰卧起坐测试，将两个班的测试成绩（单位：个）整理后，绘制成如图所示的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 八（2）班的仰卧起坐成绩比八（1）班更稳定 B. 八（1）班仰卧起坐成绩的最大值、最小值均低于八（2）班 C. 八（2）班有一半学生仰卧起坐的个数不低于35个 D. 八（1）班学生仰卧起坐成绩的第一四分位数是38 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，是直线（）上的两点，且，请写出一个符合条件的k的值__________． 13. 中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．藻井又称斗八，多作正八边形，雕刻彩绘繁复华丽，既美化空间，也承载着古人的美好祈愿．如图所示是一幅"藻井"的图案，其外轮廓为正八边形，这个正八边形每个内角的度数为__________． 14. 某物理兴趣小组同学通过查阅资料，了解到温度的计量单位不仅有摄氏度和华氏度，还有开尔文（符号，简称“开”），是国际单位制中热力学温度的基本单位，以绝对零度（）为最低极限，是最科学严格的温标，常用于物理、化学、天文等专业领域．下表是摄氏温度和开尔文的部分对应关系： 摄氏温度（） 0 50 … 开尔文（） 0 … 对应的摄氏温度是__________． 15. 如图，在梯形中，，，E是梯形内部一点，连接，，，点P，Q分别是边，的中点，连接．若，，，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，在中，，D为边的中点，四边形是平行四边形．请判断四边形的形状，并说明理由． 18. 如图，已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）请在同一平面直角坐标系中画出正比例函数的图象； （3）若正比例函数的图象交直线于点C，连接．请直接写出的面积． 19. 为了更好地落实教育部“中小学生每天校内体育活动时间不少于2小时”的要求，某中学八年级开展了“每日运动打卡”主题活动，并将立定跳远作为重点提升项目．为检验一个月打卡的活动效果，学校从八年级学生中随机抽取部分学生，记录了他们在活动前和活动后的立定跳远成绩（单位：），分性别进行统计分析，其中20名男生的成绩分析如下． 【数据整理】 20名男生活动前立定跳远的成绩 成绩 人数（频数） 1 2 1 4 成绩 人数（频数） 4 5 2 1 说明： ①活动前在组内的成绩分别为181，182，186，188． ②活动后在组内的成绩分别为200，203，203，其他各组内数据均无重复． 【数据分析】 平均数 众数 中位数 方差 活动前 a 199 c 活动后 204 b 203 【问题解决】 请根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）这20名男生活动后立定跳远成绩的第三四分位数在_______组中；（填选项） A． B． C． D． （3）请从上面数据分析表格中选择两种统计量，对这20名男生活动前、后立定跳远的成绩进行分析和评价． 20. 学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． （2）根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 平行四边形的内等四边形 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义】 如图①，E，F是对角线上不重合的两点，且，连接，，，，四边形叫作的内等四边形． 【性质】 猜想：平行四边形的内等四边形是平行四边形． 小丽的证明过程如下（部分）： 已知：四边形是的内等四边形． 求证：四边形是平行四边形． 证明：如图①，连接交于点O． …… 任务： （1）补全小丽的证明过程； （2）已知：如图②，四边形为菱形． 求作：菱形的内等四边形，使四边形是正方形． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 数学活动 活动背景：为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装． 某综合实践小组以“探究叠放纸杯的总高度变化规律”为主题开展了数学活动．请你与他们一起进行如下活动并解决相关问题． 数据测量与记录： 选取同一型号纸杯（如图①）实施叠放探究实验，改变叠放数量，逐一实测叠放纸杯的总高度，并记录如下： 杯子数量（个） … 总高度（） … 建立模型： （1）请你利用以上测量数据，自行定义变量来建立一个函数模型，表示这种型号纸杯叠放在一起的总高度与杯子数量之间的关系； 模型应用与验证： （2）①实际测量发现，叠放个这样的纸杯时总高度为，这与你建立的函数模型预测值是否一致？并说明理由． ②图②是一包该种型号纸杯，测得其高度为（不考虑包装纸的厚度），这包纸杯共有多少个？ 23. 综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： （1）判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市2025—2026学年度第二学期期末八年级学情调研 数学 （满分：120分 调研时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记圆形水波的半径为r，圆面积为S，圆周率为，则其中常量是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量．水波扩大的过程中，圆周率保持不变，故常量为． 2. 在实数范围内，二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 3. 你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ） A. 天元术 B. 正负术 C. 勾股定理 D. 杨辉三角 【答案】C 【解析】 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 4. 学校为丰富课后服务，开设了绘画、书法、篮球、足球等课后服务社团．学期末开展投票活动评选“最受欢迎的社团”，全体参与投票的学生每人一票，仅可选择一个社团．统计投票结果时，最需要关注的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：最受欢迎的社团应关注出现次数最多的数据，故最应关注众数． 5. 数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 6. 在一定条件下，温度T（单位：）对大棚内某植物光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 温度越高，光合作用产氧速率越快 B. 温度越高，呼吸作用耗氧速率越快 C. 若要光合作用产生的氧气最多，则大棚内温度应该设置为 D. 当温度为时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率 【答案】D 【解析】 【详解】A．由虚线（光合作用产氧速率）可知，温度超过后，温度越高，光合作用产氧速率越慢，故该选项原说法错误，不符合题意． B．由实线（呼吸作用耗氧速率）可知，温度超过区间的最高点后，温度越高，呼吸作用耗氧速率越慢，故该选项原说法错误，不符合题意． C．光合作用产氧速率的最大值出现，因此若要产氧最多，温度应设置为，故该选项原说法错误，不符合题意． D．温度为时，两条曲线相交，代表此时光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率相等，故该选项原说法正确，符合题意． 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（ ） A. 组内离差平方和最小 B. 组内离差平方和最大 C. 组间离差平方和最小 D. 组间的平均数差最小 【答案】A 【解析】 【详解】解：在统计学中，使“组内离差平方和最小，组间离差平方和最大”是常用的分组原则， 所以选项A正确． 9. 若关于x的一元一次不等式（）的解集为，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得一次函数与x轴的交点的坐标为，且当时，该一次函数的图象在x轴的下方，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式（）的解集为， ∴一次函数与x轴的交点的坐标为，且当时，该一次函数的图象在x轴的下方， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意． 10. 八（1）班、八（2）班学生进行了仰卧起坐测试，将两个班的测试成绩（单位：个）整理后，绘制成如图所示的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 八（2）班的仰卧起坐成绩比八（1）班更稳定 B. 八（1）班仰卧起坐成绩的最大值、最小值均低于八（2）班 C. 八（2）班有一半学生仰卧起坐的个数不低于35个 D. 八（1）班学生仰卧起坐成绩的第一四分位数是38 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据箱线图可知， 八（1）班箱线图的箱体比八（2）班的更短，因此八（1）班的仰卧起坐成绩比八（2）班更稳定，A选项错误，不符合题意； 八（1）班仰卧起坐成绩的最小值为20，高于八（2）班成绩最小值18，B选项错误，不符合题意； 八（2）班仰卧起坐成绩的中位数为35个，说明有一半学生仰卧起坐的个数不低于35个，C选项正确，符合题意； 八（1）班学生仰卧起坐成绩的第一四分位数应是32，D选项错误，不符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算被开方数的平方，再求其算术平方根即可． 【详解】原式． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，是直线（）上的两点，且，请写出一个符合条件的k的值__________． 【答案】（答案不唯一，小于的数均可） 【解析】 【详解】解：∵点，是直线上的两点， 且，， ∴随的增大而减小， ∴， ∴小于的数均可，答案不唯一． 13. 中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．藻井又称斗八，多作正八边形，雕刻彩绘繁复华丽，既美化空间，也承载着古人的美好祈愿．如图所示是一幅"藻井"的图案，其外轮廓为正八边形，这个正八边形每个内角的度数为__________． 【答案】135 【解析】 【详解】解：正八边形每个内角的度数为． 14. 某物理兴趣小组同学通过查阅资料，了解到温度的计量单位不仅有摄氏度和华氏度，还有开尔文（符号，简称“开”），是国际单位制中热力学温度的基本单位，以绝对零度（）为最低极限，是最科学严格的温标，常用于物理、化学、天文等专业领域．下表是摄氏温度和开尔文的部分对应关系： 摄氏温度（） 0 50 … 开尔文（） 0 … 对应的摄氏温度是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：观察表格可知，当摄氏温度每增加时，开尔文增加， 所以开尔文是关于摄氏温度的一次函数． 设摄氏温度为，开尔文为， 由表可知：． 所以当时，． 15. 如图，在梯形中，，，E是梯形内部一点，连接，，，点P，Q分别是边，的中点，连接．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，连接，连接并延长交于点F．先求解的长度，再利用角角边的证明方法证明与全等，由此可得，．再利用勾股定理求解的长度，结合三角形中位线的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，连接并延长交于点F． ∵点P是边的中点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形，且点P是边的中点， ∴，即， 在中，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，． ∵ ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，由勾股定理得． ∵点P，Q分别是边，的中点， 为的中位线， 所以． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减即可； （3）先利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则展开，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： = ． 17. 如图，在中，，D为边的中点，四边形是平行四边形．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】方法一：四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，D是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 方法二：四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】方法一：根据平行四边形的性质，得到，，根据“等腰三角形三线合一”得到，，从而得到，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形．再由，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可证得结论． 方法二：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形．再结合已知条件，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可证得结论． 【详解】略 18. 如图，已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）请在同一平面直角坐标系中画出正比例函数的图象； （3）若正比例函数的图象交直线于点C，连接．请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）正比例函数图象是过原点的直线； （3）先联立方程组求一次函数和正比例函数图象的交点坐标，再求面积． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 将，代入中，得， 解得， 所以该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：正比例函数的图象过，两点，图略； 【小问3详解】 解：联立，解得， ， 如图， 由上图得． 19. 为了更好地落实教育部“中小学生每天校内体育活动时间不少于2小时”的要求，某中学八年级开展了“每日运动打卡”主题活动，并将立定跳远作为重点提升项目．为检验一个月打卡的活动效果，学校从八年级学生中随机抽取部分学生，记录了他们在活动前和活动后的立定跳远成绩（单位：），分性别进行统计分析，其中20名男生的成绩分析如下． 【数据整理】 20名男生活动前立定跳远的成绩 成绩 人数（频数） 1 2 1 4 成绩 人数（频数） 4 5 2 1 说明： ①活动前在组内的成绩分别为181，182，186，188． ②活动后在组内的成绩分别为200，203，203，其他各组内数据均无重复． 【数据分析】 平均数 众数 中位数 方差 活动前 a 199 c 活动后 204 b 203 【问题解决】 请根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）这20名男生活动后立定跳远成绩的第三四分位数在_______组中；（填选项） A． B． C． D． （3）请从上面数据分析表格中选择两种统计量，对这20名男生活动前、后立定跳远的成绩进行分析和评价． 【答案】（1）183；203；184； （2）C； （3）从平均数看，这20名男生活动前和活动后立定跳远成绩的平均数分别为，，说明这20名男生活动后立定跳远成绩的平均数大于活动前立定跳远成绩的平均数，整体水平明显提升；从众数看，这20名男生活动前立定跳远成绩的众数为，说明这20名男生活动前立定跳远成绩为的人数最多，活动后立定跳远成绩的众数为，说明这20名男生活动后立定跳远成绩为的人数最多（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的计算方法计算即可； （2）根据第三四分位数的求法求解即可； （3）根据平均数和众数的性质进行分析和评价即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 由题意，活动后组内成绩为200，203，203，其中203出现次， 又∵其他各组内数据均无重复， ∴其余所有成绩都只出现次， ∴出现次数最多的数是203，即众数； 由题意得，中位数是第10和第11个数据的平均数，且第个数据都在组内，该组成绩从小到大依次为181，182，186，188， ∴第10个数据为182，第11个数据为186， ∴； 【小问2详解】 解：解法一：对于个有序数据，第三四分位数（上四分位数）的位置为 ， ∵， ∴， ∴第三四分位数为第15个数据和第16个数据的加权平均数， 由统计图可得，第15个数据和16个数据都落在组； 解法二：由题意得，将20个数据从小到大排列，中位数是第10和第11个数据的平均数， ∴前半部分为：第个数据，后半部分为：第个数据， ∵第三四分位数是后半部分数据的中位数， ∴第三四分位数对应的第个和第16个数据的平均数， 由统计图可得，第15个数据和16个数据都落在组； 【小问3详解】 略 20. 学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． （1）请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． （2）根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】（1）（10，24，26） （2），， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【解析】 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 平行四边形的内等四边形 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义】 如图①，E，F是对角线上不重合的两点，且，连接，，，，四边形叫作的内等四边形． 【性质】 猜想：平行四边形的内等四边形是平行四边形． 小丽的证明过程如下（部分）： 已知：四边形是的内等四边形． 求证：四边形是平行四边形． 证明：如图①，连接交于点O． …… 任务： （1）补全小丽的证明过程； （2）已知：如图②，四边形为菱形． 求作：菱形的内等四边形，使四边形是正方形． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是的内等四边形， ∴． ∴，即． 又， ∴四边形是平行四边形 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，，根据内等四边形的定义得，利用线段的和差关系得，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形； （2）连接菱形两条对角线、，交于中心O；以O为圆心，的长度为半径画圆弧，圆弧与对角线交于两点E、F；依次连接、、、，所得四边形即为满足条件的正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 数学活动 活动背景：为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装． 某综合实践小组以“探究叠放纸杯的总高度变化规律”为主题开展了数学活动．请你与他们一起进行如下活动并解决相关问题． 数据测量与记录： 选取同一型号纸杯（如图①）实施叠放探究实验，改变叠放数量，逐一实测叠放纸杯的总高度，并记录如下： 杯子数量（个） … 总高度（） … 建立模型： （1）请你利用以上测量数据，自行定义变量来建立一个函数模型，表示这种型号纸杯叠放在一起的总高度与杯子数量之间的关系； 模型应用与验证： （2）①实际测量发现，叠放个这样的纸杯时总高度为，这与你建立的函数模型预测值是否一致？并说明理由． ②图②是一包该种型号纸杯，测得其高度为（不考虑包装纸的厚度），这包纸杯共有多少个？ 【答案】（1）（为正整数） （2）①预测一致．理由如下： ∵当时， ， ∴个这样的纸杯叠放在一起时的总高度为，与函数模型预测值一致； ②这包纸杯共有个 【解析】 【分析】（1）每叠放一个纸杯，杯子的总高度的变化是均匀的，所以这种型号的纸杯叠放在一起的总高度是纸杯数量的一次函数，用待定系数法求一次函数表达式即可． （2）①根据函数表达式，将的值代入求的值，和实际测量值对比． ②根据函数表达式，将的值代入求的值，注意该种型号的纸杯有两摞，计算出的的倍即是答案. 【小问1详解】 解：设这种型号纸杯的数量为个（为正整数），这些纸杯叠放在一起的总高度为， ∵杯子的总高度的变化是均匀的， ∴假设杯子总高度关于纸杯的数量的函数是一次函数，设， 将时，，时，代入函数的表达式，得， 解得， ∴纸杯叠放在一起的总高度与纸杯的数量个的函数关系式为：（为正整数）； 【小问2详解】 解：①略； ②当时，，解得， （个）， 答：这包纸杯共有个． 23. 综合与探究 问题情境： 如图①，在边长为4的正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点G．延长交直线于点H． 猜想证明： （1）判断线段和的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图②，在点F运动的过程中，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）方法一：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方法二：．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴，． ∴，即． ∴． （2）①方法一：．理由如下： 如图，连接交于点O． 由折叠可知，是的垂直平分线． ∴O是的中点． ∵E是的中点， ∴是的中位线． ∴，即． 方法二：．理由如下： ∵E是的中点， ∴． 由折叠，得，． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ②或 【解析】 【分析】（1）构造全等三角形或根据等腰三角形的性质，结合折叠的性质验证结论； （2）①借助中点和折叠的性质，利用中位线的性质得到两直线平行；或证明等腰三角形顶角外角的平分线与底边平行； ②分和两种情况计算线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，当时，点G在边的垂直平分线上， 根据题意可知点G是正方形的对角线交点，得． 当时，由，， ∴． 所以． 因为， 所以． 所以B，G，H三点共线，即点F与点B重合． 如图，连接交于点O， 则，． 由，，得． 所以， 所以． 由（2），得，即． 因为， 所以． 在中， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $