第三次月考模拟试卷（A）卷【一期四考备考模拟卷】2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则常数的值为（    ） A． B．9 C． D． 3．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（   ） A．夏天射击次，不一定会命中环 B．夏天射击次，一定不会命中环 C．夏天射击次，一定有次命中环 D．夏天射击次，一定能命中环 5．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 6．下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 8．2025年8月16日，《感动中国2024年度人物颁奖盛典》播出，某新媒体平台第一天的播放量为150万次，第三天的播放量增长到294万次．设该节目每天播放量的平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 10．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压是 B．当时， C．当时， D．当电阻越大时，蓄电池的电流越小 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．方程解为 ． 14．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 15．在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 16．如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）计算： （1）计算：； （2）解方程：． 18．（10分）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 19．（10分）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从A.《民法典》、B.《未成年人保护法》、C.《刑法》、D.《义务教育法》中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)若先从这4本中随机抽取一本，则抽到D.《义务教育法》的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本法律中有A.《民法典》的概率． 20．（10分）我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． (1)设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； (2)求出车道的宽x是多少米？ 21．（10分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，的值为________． 23．（12分）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 24．（12分）年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 25．（14分）【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图①，小明在正方形的边上取一动点E，在的延长线上取一动点 F，使，并连接、．小明发现：线段、之间存在数量关系，请直接写出线段、之间的数量关系：______． 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点G，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段、、之间也存在数量关系．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为6时，请求出的长． 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作于点P，连接，请帮助小明求出的面积． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（A）卷（评分参考） 九年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D D A A B C C A C A C 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．，． 14．中心投影. 15．0.95． 16．． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分） 【详解】解：（1） ；（5分） （2） ∵ ∴ ∴，（10分） 18．（10分） 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为．（10分） 19．（10分） 【详解】（1）解：总共有4本法律，抽到《义务教育法》的情况数为1， ∴ 概率为． 故答案为：．（4分） （2）解：根据题意，列树状图如下： 共有12种等可能结果，其中包含A的有6种， ∴ 抽取的两本法律中有A的概率为． 答：抽取的两本法律中有A的概率为．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是； 故答案为：；（4分） （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去）； 答：车道的宽x是3米．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴；（5分） （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：如图所示： （5分） （2）解：由（1）得与的相似比为 ∴的值为．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：∵火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数， ∴y关于x的函数表达式为，其中 为常数， ∵当时，， ∴， ∴y关于x的函数表达式为；（3分） （2）解：将 代入函数表达式， 得 ， 所以火焰的像高为 ． 24．（12分） 【详解】（1）解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； （2）设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元；（7分） （3）该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元．（12分） 25．（14分） 【详解】解：[问题呈现]： 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ；（3分） [问题探索] （1），理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；（7分） （2）设， 点为的中点，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得 ， 解得， 的长度为5；（10分） [问题解决] 如图，过点作于点，交于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， ， ， 解得，即， 由（2）可知，， ．（14分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 2．已知是方程的一个根，则常数的值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程，求解m的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 4．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（   ） A．夏天射击次，不一定会命中环 B．夏天射击次，一定不会命中环 C．夏天射击次，一定有次命中环 D．夏天射击次，一定能命中环 【答案】A 【分析】本题考查概率的基本概念，主要涉及对用频率估计概率的理解，以及随机事件概率与事件发生可能性之间的关系．理解概率是描述事件发生可能性的度量，而不是确定某次或某几次试验结果的依据．概率为并不意味着在特定次数的试验中，事件一定会按照概率比例发生．根据概率的定义和性质，对每个选项进行分析判断．概率表示一个事件在大量重复试验中发生的可能性大小，但对于单次试验或有限次试验，实际结果具有不确定性，不能根据概率值确定必然会出现某种结果． 【详解】解：选项A：夏天命中环的概率为，这意味着射击次时，命中环是一个随机事件，有可能发生，也有可能不发生，所以不一定会命中环，该选项符合题意． 选项B：虽然命中环的概率是，但射击次仍有的可能性命中环，不是一定不会命中环，该选项不符合题意． 选项C：夏天射击次，命中环的次数是不确定的随机事件．虽然概率为，理论上平均可能命中次，但实际射击中不一定恰好有次命中环，该选项不符合题意． 选项D：射击次，命中环是随机事件，不是必然事件，不一定能命中环，该选项不符合题意． 故答案为：A． 5．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得解，熟练掌握相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为， 故选：A． 6．下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征． 判断点是否在反比例函数图象上，需验证该点坐标是否满足函数关系式，即． 【详解】∵ 点在函数图象上， ∴ ． 选项A∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意； 选项B∶ ， ∴ ， 满足，该选项符合题意； 选项C∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意； 选项D∶ ， ∴ ， 不满足，该选项不符合题意． 故选：B． 7．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 8．2025年8月16日，《感动中国2024年度人物颁奖盛典》播出，某新媒体平台第一天的播放量为150万次，第三天的播放量增长到294万次．设该节目每天播放量的平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据平均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，因此第三天播放量为第一天的倍． 【详解】解：设平均增长率为x， ∵第一天播放量为150万次， ∴第二天播放量为万次， ∴第三天播放量为万次， ∵第三天播放量为294万次， ∴． 故选：C． 9．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 10．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， 又∵的周长为， ． 故选：C． 11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对边平行、利用坐标轴垂直的特点推导三角形内角是解题的关键． 利用菱形的性质推导角的关系，结合坐标轴垂直的特点，证明为等腰直角三角形，进而求出线段长度确定点坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴是等腰直角三角形． 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴（线段长度为正）． ∵， ∴， ∴点的坐标为 故选：A． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压是 B．当时， C．当时， D．当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．方程解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过零乘积性质，令每个因子等于零，求解方程． 【详解】解：， 所以或． 解得：，． 故答案为：，． 14．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念，解题的关键是区分两种投影的光源特点． 根据中心投影的定义（由同一点光源发出的光线形成的投影），判断舞台上方灯光（点光源）照射形成的投影类型． 【详解】解：舞台上方的灯光属于点光源，由点光源发出的光线形成的投影是中心投影， 故答案为：中心投影． 15．在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 16．如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作的平行线，延长交平行线于，证明四边形为矩形，可得，，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作的平行线，延长交平行线于 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）计算： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）先计算乘方，绝对值，立方根，再进行加减运算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ ∴， 18．（10分）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理可得，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 19．（10分）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从A.《民法典》、B.《未成年人保护法》、C.《刑法》、D.《义务教育法》中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)若先从这4本中随机抽取一本，则抽到D.《义务教育法》的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本法律中有A.《民法典》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算（古典概型），解题的关键是明确基本事件总数，利用概率公式或列表/树状图分析符合条件的事件数． （1）根据概率公式，用抽到《义务教育法》的情况数除以总情况数，得到概率； （2）通过树状图列出所有抽取两本法律的可能结果，数出包含《民法典》的结果数，再用概率公式计算． 【详解】（1）解：总共有4本法律，抽到《义务教育法》的情况数为1， ∴ 概率为． 故答案为：． （2）解：根据题意，列树状图如下： 共有12种等可能结果，其中包含A的有6种， ∴ 抽取的两本法律中有A的概率为． 答：抽取的两本法律中有A的概率为． 20．（10分）我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． (1)设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； (2)求出车道的宽x是多少米？ 【答案】(1) (2)车道的宽x是3米 【详解】（1）解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去）； 答：车道的宽x是3米． 21．（10分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，的值为________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，且与的相似比为，分别在第四象限内找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的周长比等于相似比，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得与的相似比为 ∴的值为． 23．（12分）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先设出反比例函数解析式，再代入已知数据求出k即可； （2）根据小孔到蜡烛的距离为，代入（1）中求得的解析式中，求出火焰的像高． 【详解】（1）解：∵火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数， ∴y关于x的函数表达式为，其中 为常数， ∵当时，， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：将 代入函数表达式， 得 ， 所以火焰的像高为 ． 24．（12分）年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)降低元 (3)不能达到元，理由见解析 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个”求解； （2）设每个模型的售价应降低x元，根据题意列出一元二次方程求解； （3）假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； （2）设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元； （3）该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元． 25．（14分）【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图①，小明在正方形的边上取一动点E，在的延长线上取一动点 F，使，并连接、．小明发现：线段、之间存在数量关系，请直接写出线段、之间的数量关系：______． 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点G，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段、、之间也存在数量关系．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为6时，请求出的长． 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作于点P，连接，请帮助小明求出的面积． 【答案】[问题呈现]；[问题探索]（1），理由见解析；（2）的长度为5；[问题解决]． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意找出全等三角形是解题关键． [问题呈现]根据正方形的性质证明，即可求解； [问题探索]（1）证明出，得到，即可得出结论； （2）设，在中，利用勾股定理求解即可； [问题解决] 过点作于点，交于点，证明，得到，，设，利用线段的和差求出，由（2）可知，，即可求出的面积． 【详解】解：[问题呈现]： 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ； [问题探索] （1），理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）设， 点为的中点，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得 ， 解得， 的长度为5； [问题解决] 如图，过点作于点，交于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， ， ， 解得，即， 由（2）可知，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第三次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：九年级上册全册【北师大版】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则常数的值为（    ） A． B．9 C． D． 3．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（   ） A．夏天射击次，不一定会命中环 B．夏天射击次，一定不会命中环 C．夏天射击次，一定有次命中环 D．夏天射击次，一定能命中环 5．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 6．下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 8．2025年8月16日，《感动中国2024年度人物颁奖盛典》播出，某新媒体平台第一天的播放量为150万次，第三天的播放量增长到294万次．设该节目每天播放量的平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 10．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压是 B．当时， C．当时， D．当电阻越大时，蓄电池的电流越小 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．方程解为 ． 14．在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 ，（填写“中心投影”或“平行投影”） 15．在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 16．如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）计算： （1）计算：； （2）解方程：． 18．（10分）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 19．（10分）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从A.《民法典》、B.《未成年人保护法》、C.《刑法》、D.《义务教育法》中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)若先从这4本中随机抽取一本，则抽到D.《义务教育法》的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本法律中有A.《民法典》的概率． 20．（10分）我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． (1)设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； (2)求出车道的宽x是多少米？ 21．（10分）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，的值为________． 23．（12分）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 24．（12分）年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； (2)在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 25．（14分）【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图①，小明在正方形的边上取一动点E，在的延长线上取一动点 F，使，并连接、．小明发现：线段、之间存在数量关系，请直接写出线段、之间的数量关系：______． 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点G，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段、、之间也存在数量关系．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为6时，请求出的长． 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作于点P，连接，请帮助小明求出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $