精品解析：湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

郧阳中学2024级高二上起点考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，， 则. 2. 已知为第一象限角.，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答. 【详解】因为为第一象限角，，则，， ，即，解得，， 所以. 故选：D 3. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，现给出以下说法：①；②该场观众年龄平均数的估计值为30；③该场观众年龄众数的估计值为35；④该场观众年龄分位数的估计值为34，其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由频率和为1求得判断①；由频率分布直方图的平均数公式求得该场观众年龄平均数的估计值，判断②；由频率分布直方图中纵轴最高组数据得到众数的估计值，判断③；由频率分布直方图求得该场观众的百分位数即可判断④. 【详解】①由题意得， 解得，故①正确； ②该场观众年龄平均数的估计值为， 故②错误； ③由频率分布直方图可知，该场观众年龄众数的估计值为35，故③正确； ④前3组的频率为， 前4组的频率为， 则该场观众年龄分位数位于第4组，设分位数为， 由，解得，故④正确. 4. 如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与 A. 互相平行 B. 异面且互相垂直 C. 异面且夹角为 D. 相交且夹角为 【答案】D 【解析】 【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解. 【详解】 将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为. 故选D. 【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5. 函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数的图像得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质以及图像平移规律、奇偶性求解即可. 【详解】由图可知，两个相邻零点为和，故半个周期，所以，故， 因此. 因为点在图像上，故，解得，取得， 即. ①.，故①正确. ②.，因此该点不是对称中心，故②错误. ③.将横坐标缩短为原来的，得到，故③正确. ④.向右平移个单位，则， 是偶函数，图象关于轴对称，故④正确. 6. 海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 7. 是等腰直角三角形，，，，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，建立坐标系，由数量积公式以及距离公式得出的最小值. 【详解】由知点为的中点，设为中点，由得，因为，所以点在直线上，建立如下图所示的平面直角坐标系，，，当时，最小，的直线方程为，即，由点到直线的距离公式可得：，即的最小值. 故选：B 8. 锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形角的关系化简等式，得到的关系，然后列出的式子，最后根据角的范围求出其范围即可. 【详解】，. ，，，从而， 为锐角三角形． ，从而. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. z=1 B. C. z是方程的一个根 D. 满足的最小正整数n为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、乘方运算逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则z是方程的一个根，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，则（ ） A. 若向量与向量的夹角为，则 B. C. D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量夹角、向量坐标垂直、向量的模以及向量的投影的公式求解即可. 【详解】已知，，则，，， ，​，. 选项A.则，正确. 选项B.，错误. 选项C.，，故，正确. 选项D.向量在向量上的投影向量是，正确. 11. 已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D. 若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A作出过点，，的平面截正方体所得截面计算截面边长即可判断，对于B：取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，求半径即可判断，对于C正方体部分展开分别求出即可判断，对于D由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断. 【详解】对于A：如图①，延长交的延长线于点，易得，所以，连接交于点，由，得，所以是上靠近的三等分点，在棱上取点，使得，连接，则，在棱上取点，使得，连接，则，得，取的中点，连接，则，得，则是上靠近的三等分点，连接，则五边形即为所求截面. ，， ，， ，故五边形不是正五边形，故A错误； 对于B：如图②，取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，直径长为，则球的表面积为，故B正确 对于C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况：， ，，则的最小值为，故C正确. 对于D：由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，其对角线长为，所以面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 【答案】34 【解析】 【详解】把数据从小到大排序为：17，21，24，28，30，32，33，34，41，100，样本容量， ，所以该样本的上四分位数为34. 13. 若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 14. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据满足与平面成的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度. 【详解】 因为与平面成的角， 故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. （1）若平面.证明：； （2）若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2）（i）证明见详解；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，进而可知，由题可知所以可证平面，再由线面平行的性质定理可得，进而平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）（i）利用面面直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，进而可证；（ii）先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，. 【小问2详解】 如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. （ii）由（i）知，， ，，. 如图： 过点作于点，再过点作于点，连接， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， ， ， 又， ． 由（i）知平面， 平面，， ， 又， ，， 在中，． 即二面角的正弦值为. 17. 已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，然后写出平移后函数的解析式，最后根据函数为偶函数则求解，即可求得的解析式； （2）根据正弦函数的单调性列不等式求解的单调增区间，再与区间取交集即可； （3）令，作出在上的图象，数形结合可求出m的范围，根据对称性求出、、、，求和即可. 【小问1详解】 ， 由的图象向右平移个单位长度，得， 此函数是偶函数，则， 因为，所以当时，，. 【小问2详解】 法一 由，得 因为，所以当时， 所以的单调增区间为 法二 由，得 由，得 所以的单调增区间为 【小问3详解】 由，可得 令，作出函数在上的图象，如图所示， 由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点. 当时，；当时，， 则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，不妨设， ，，，， 所以，， ，， 解得，，，， 故，. 18. 已知的内角． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若是边上的一点，当最大时，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，坐标代入，利用半角公式化简可得，利用两角和差余弦公式展开可得，即可求解； （2）根据，结合（1），再利用基本不等式即可得到的范围，从而得到的取值范围； （3）当最大时，，然后利用正弦定理结合正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 ，， 即，， 则，即． 化简得：． 【小问2详解】 在中，． 由（1）知，且是的内角， ． 当且仅当时等号成立． ． ，当且仅当时等号成立．． 【小问3详解】 当最大时，， 由，可得， ，当与和点重合时，， 当与和点不重合时，． 在中，由正弦定理，， 即， 又，． 综上，的长的取值范围是． 19. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；（ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 （i）证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． 【小问2详解】 由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2024级高二上起点考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为第一象限角.，则（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，现给出以下说法：①；②该场观众年龄平均数的估计值为30；③该场观众年龄众数的估计值为35；④该场观众年龄分位数的估计值为34，其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与 A. 互相平行 B. 异面且互相垂直 C. 异面且夹角为 D. 相交且夹角为 5. 函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 7. 是等腰直角三角形，，，，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. z=1 B. C. z是方程的一个根 D. 满足的最小正整数n为3 10. 已知向量，，则（ ） A. 若向量与向量的夹角为，则 B. C. D. 向量在向量上的投影向量是 11. 已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D. 若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 13. 若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 14. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. （1）若平面.证明：； （2）若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 17. 已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 18. 已知的内角． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若是边上的一点，当最大时，，求的长． 19. 如图，四棱锥中，平面平面． （1）若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，当时，求三棱锥体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $