精品解析：湖北省丹江口市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

丹江二中高二开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱柱中，平面．若所有的棱长都是2，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，则（） A. B. 的共轭复数是 C. 的虚部是 D. 是纯虚数 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 11. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C. 存在唯一的点，使得 D. 与平面所成的角为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若为纯虚数，则______. 13. 已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为________． 14. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，平面 ，且，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 17. 已知函数f（x）＝sinxcosxcos2x+1 （1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合； （2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 19. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面 ； （2）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹江二中高二开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，， 则， 故选：A. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得，再结合复数的概念与几何意义即可得答案. 【详解】复数， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项正确； 对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误； 对于D选项，若，，则或，故D选项错误； 故选：B 6. 已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为为单位向量，且， 所以，得， 所以， 因为，所以. 故选：C 7. 在三棱柱中，平面．若所有的棱长都是2，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果. 【详解】如图，连接，∵//， ∴就是异面直线与所成的角． 在中，,, ∴．∴． ∴异面直线与所成的角的正弦值为． 故选：A． 【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题. 8. 如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 32 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，则（） A. B. 的共轭复数是 C. 的虚部是 D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据复数的加法运算及复数的模的计算公式求解即可；对于B，根据复数的减法运算及费轭复数的概念即可求解；对于C，根据复数的乘法运算即可求出，连而可求虚部；对于D，根据复数的除法运算即可求出，进而判断是不是纯虚数. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，的共轭复数为，故B错误； 对于C，，的虚部为3，故C正确； 对于D，，故为纯虚数，故D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为向量，，则， 且，则，解得，故A错误； 因为，，则，故B正确； 因为，则，故C正确； 因为，则，故D正确； 故选：BCD 11. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C. 存在唯一的点，使得 D. 与平面所成的角为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D. 【详解】因为是线段上的动点，而且， 所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值， ，所以三棱锥的体积是定值，A正确； 过作分别交，的延长线于，，连接，，如图， 为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误； 在上运动，当时，，而为中点， 所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确； 由，平面，平面，则平面， 所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化， 故与平面所成的角不为定值，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若为纯虚数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为纯虚数求出的值，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为为纯虚数，则，则. . 故答案为：. 13. 已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，分别计算出向量与的模及两者的数量积，代入公式即可求得两向量夹角的余弦，从而得出两向量的夹角． 【详解】，同理， ，， 由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 故答案为： 14. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，证得，即可得证. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， ∵是正方形对角线交点，∴为的中点， 由已知为线段的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ，为线段的中点，， ∵平面，平面，， 在正方形中，，又，平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面； 17. 已知函数f（x）＝sinxcosxcos2x+1 （1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合； （2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为Tπ，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合； （2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值． 【详解】（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1， 所以函数f（x）的最小正周期为Tπ， 当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2， 此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}. （2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1， 因为g（x）是偶函数， 所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z， 所以φ的最小值为. 【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $