精品解析：山东德州市平原县2025-2026学年第二学期期末学业水平检测八年级数学试题

平原县2025-2026学年第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 本试题分选择题，40分；非选择题，110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 3. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 5. 将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（ ）． A. 该液体的比热容随温度升高而减小 B. 该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C. 一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D. 一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 10. 如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 点______（填“在”或“不在”）函数的图象上． 12. 已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 13. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 15. 如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） （3）若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 18. 毛公山（原名保国山），位于海南省乐东黎族自治县保国农场，是因山形酷似毛泽东主席仰卧像而得名的国家2A级红色旅游景区，八（1）班数学兴趣小组为了测量其高度，在点B处看山顶，测得，往前走730米到点（点B、C、D同在地面一直线上），此时测得． （1）__________；点D到山脚下点C的距离是__________米； （2）求毛公山的高度是多少米？（，结果保留整数） 19. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是的平分线，当，时，求的面积． 20. 为促进学生全面发展，某学校组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． （1）大巴车的速度为 千米/时； （2）轿车出发多长时间后追上大巴车？ 21. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 22. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 3 2 1 0 0 1 … 其中_____． （2）在图中的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 23. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平原县2025-2026学年第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 本试题分选择题，40分；非选择题，110分；全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选均计零分．） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号逐项判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，含平方因数，可化简为，不是最简二次根式． B：的分母含根号，可化为，不是最简二次根式． C：的被开方数是质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式条件． D：的被开方数是完全平方数，可化简为，不是最简二次根式． 故选：C 2. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 3. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 4. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 5. 将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 6. 如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为360度和三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴. 7. 已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得  ． 9. 某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（ ）． A. 该液体的比热容随温度升高而减小 B. 该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C. 一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D. 一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从图象中获取和分析数据． 根据图象是关于液体的比热容随温度变化的规律，以及，分析数据的变化规律，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项：由图象可知，该液体的比热容随温度升高而变大，故A选项错误； B选项：由图象可知，该液体的比热容在区间的图象比在区间的图象更陡峭，变化更快，故B选项错误； C选项：由图象可知，的该液体比的该液体比热容要小，根据，一定质量的该液体吸收相同热量，的该液体比的该液体温度变化大，故C选项错误； D选项：该液体在从升高至时的比热容小于从升高至时的比热容，根据，升高相同的温度，比热容越大，吸收热量越多，所以一定质量的该液体从升高至吸收的热量，比从升高至吸收的热量少，故D选项正确． 10. 如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明可得；通过证明可得，进而证得垂直平分，推出；利用直角三角形斜边中线性质及外角性质可证及；最后统计错误结论的个数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个，错误的结论有0个． 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每题填对得4分． 11. 点______（填“在”或“不在”）函数的图象上． 【答案】在 【解析】 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到函数值后，与点的纵坐标比较，若二者相等，则点在函数图象上，否则点不在函数图象上，据此求解即可． 【详解】解：将代入函数解析式，得， 则点在函数的图象上． 12. 已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 【答案】10或##或10 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，因此需分两种情况讨论，利用勾股定理求解第三边长，根据三角形边长为正舍去负解即可． 【详解】解：设第三边长为 ①当和都是直角边，第三边是斜边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； 综上，第三边长为或． 13. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据有实数根得出判别式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知，根据平行四边形的性质结合已知条件推出，进而求出的长，勾股定理求出即可． 【详解】解：在中， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，. 15. 如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【解析】 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） （3）若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． （3）1230人． 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数，圆心角的计算求解即可； （2）根据中位数解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可； 【小问1详解】 解：142出现的次数最多，3次，故众数， 根据题意，A组人数为：（人），B组人数为：9（人）， 中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故中位数， 因为， 所以 故； 【小问2详解】 解：三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人） 答：估计该校三年级学生身高不低于130cm的学生共有1230人． 18. 毛公山（原名保国山），位于海南省乐东黎族自治县保国农场，是因山形酷似毛泽东主席仰卧像而得名的国家2A级红色旅游景区，八（1）班数学兴趣小组为了测量其高度，在点B处看山顶，测得，往前走730米到点（点B、C、D同在地面一直线上），此时测得． （1）__________；点D到山脚下点C的距离是__________米； （2）求毛公山的高度是多少米？（，结果保留整数） 【答案】（1）； （2）米 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角性质即可求出，利用等腰三角形性质推出，再结合直角三角形性质求解，即可求出的长； （2）直接利用勾股定理求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识． 【小问1详解】 解：，， ； ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：（米）， 答：毛公山的高度是米． 19. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是的平分线，当，时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）先由勾股定理求出的长度，即为该三角形的高，再结合角平分线与平行的性质得到，由等角对等边即可求解的长度，由此可解的长度，即为该三角形的底，由此求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，，且， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵是的平分线， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 为促进学生全面发展，某学校组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． （1）大巴车的速度为 千米/时； （2）轿车出发多长时间后追上大巴车？ 【答案】（1）50 （2）轿车出发2小时后追上大巴车 【解析】 【分析】（1）从函数图像中读取大巴车行驶1小时的路程，求出大巴车速度； （2）求出轿车速度，利用两车路程相等建立方程，求解轿车追上大巴车的时间． 【小问1详解】 解：由图像可知，大巴车行驶1小时，路程为50千米， 根据速度=路程时间，可得： 大巴车速度千米/时． 【小问2详解】 轿车比大巴车晚出发1小时，即轿车行驶小时，路程75千米， 轿车速度千米/时， 设轿车出发小时后追上大巴车，此时大巴车行驶时间为小时，大巴车行驶路程为，轿车行驶路程为， 追上时两车路程相等，得方程： ， ， ， ， 因此，轿车出发2小时后追上大巴车． 21. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【小问1详解】 解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 22. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 3 2 1 0 0 1 … 其中_____． （2）在图中的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】（1）4 （2）见详解 （3）有最小值，当时，的最小值是 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）将代函数解析式即可求出的值； （2）根据表格中的数据先描点，再画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可解答； （4）由题中规律可得函数有最小值，当时，有最小值，的最小值是，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．从而得出当时，在时取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：如下图所示， 【小问3详解】 解：由函数图象可得，函数有最小值，当时，有最小值，的最小值是． 【小问4详解】 解：由题中规律可得函数有最小值，图象的对称轴为直线，当时，有最小值，的最小值是，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴当时，在时取得最大值， ∴， 解得：． 23. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①证明见解析； ②； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； 【小问3详解】 解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $