精品解析：山东省德州市平原县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

平原县2024-2025 学年第二学期初中学业水平检测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 5. 已知一次函数的图象上有两点与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一组统计数据6，7，6，5，6．下列说法错误的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是6 D. 方差是6 7. 已知一次函数（为常数，且）的图象与轴交于点，则该一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止。设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A. B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 12. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是88分，90分，96分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是________分； 13. 点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 14. 如图，是菱形的对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，画直线交于点，若，则______． 15. 一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 16. 在平行四边形中，、分别为、的中点，、分别是一元二次方程的两根，且，则______． 三、解答题：本大题共8小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 选择适当的方法解方程 （1） （2） 19. 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86 87 九年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 20. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 21. 低空经济是培育新质生产力的重要方向，深圳市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞—10分钟送达”的高时效服务，在南山科技园、福田中心公园等地开展无人机送餐服务． （1）经测，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省15分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为60单，根据实际情况无人机配送的单数不超过50单，但至少比人工配送多20单，若无人机实际成本为4元／单，但享受政府补贴元／单，人工配送成本为7元／单，如何安排配送服务使总成本最低？最低费用是多少？ 22. 已知：甲、乙两车分别从相距千米的，两地同时出发相向而行，甲车到达地后休息了一段时间，然后原路原速返回地，结果甲车比乙车早半小时到达地．下图是甲、乙两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）甲车行驶过程中的速度是__________千米时，甲车到地后休息的时间为__________小时； （2）求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲乙两车出发多长时间，在途中相遇． 23. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 24. 阅读材料：在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求，间的距离．如图，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，，所以，两点间的距离 根据以上探究，解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为_________； （2）在平面直角坐标系中，，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为_________； （3）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； （4）应用平面内两点间的距离公式，直接写出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平原县2024-2025 学年第二学期初中学业水平检测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意； B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 3. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算．根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：A． 4. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； C、，，不可以判定四边形是平行四边形，故符合要求； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：C． 5. 已知一次函数的图象上有两点与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性．利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 6. 对于一组统计数据6，7，6，5，6．下列说法错误的是（ ） A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是6 D. 方差是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握平均数、中位数、众数及方差的定义是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数为：； 数据从小到大排列，处于第4位的是6，即中位数为6； 这组数据中出现次数最多的为6，即众数为6； 方差为． 综上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 7. 已知一次函数（为常数，且）的图象与轴交于点，则该一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了求一次函数解析式．把点代入，求出一次函数的解析式，即可求解． 【详解】解：∵一次函数（为常数，且）的图象与轴交于点， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， 即一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故选：A． 8. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止。设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，利用特殊角的三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息． 过点作交于点，假设菱形的边长为，求出，结合函数图象得出，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，假设菱形的边长为， 在菱形中，， ， ， ， 由图2得，， 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A. B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式； 本题根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：∵，小正方形的面积为14， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是88分，90分，96分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是________分； 【答案】90.2 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：小雨的最终成绩（分）， 故答案为：90.2． 13. 点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的增减性，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点，是一次函数图象上的两个点， ∴①当时，则：， ∴； ②当时，则：， ∴， 综上：； 故答案为：． 14. 如图，是菱形的对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，画直线交于点，若，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，理解尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利用菱形的性质得到，，结合得到，由作图可知，点在线段的垂直平分线上，则有，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：菱形， ，， ， ， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ， ． 故答案为：20． 15. 一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 16. 在平行四边形中，、分别为、的中点，、分别是一元二次方程的两根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先解方程得到，，延长交延长线于点，过作于点，先证明，得到，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可求，，然后在中利用勾股定理求出值，依据，则值可求． 【详解】解：， ， ，， 、分别是一元二次方程的两根， ，， 如图，延长交延长线于点，过作于点， 为中点， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 在中，利用勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， 又为中点， ， ， ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的加法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简各个二次根式，再运算加法，即可作答． （2）先化简二次根式，再运算乘除，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 选择适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 解得：． 19. 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86 87 九年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 解：九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但九年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八年级，故九年级学生数学文化知识较好； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）根据中位数和众数分析即可得解； （3）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：九年级A组的人数为人， 而九年级组有人， 则把九年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴九年级学生成绩的中位数， ∵八年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多， ∴八年级的众数， 由题意可得：， ∴； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有：（人）． 20. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）6． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21. 低空经济是培育新质生产力的重要方向，深圳市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞—10分钟送达”的高时效服务，在南山科技园、福田中心公园等地开展无人机送餐服务． （1）经测，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省15分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为60单，根据实际情况无人机配送的单数不超过50单，但至少比人工配送多20单，若无人机实际成本为4元／单，但享受政府补贴元／单，人工配送成本为7元／单，如何安排配送服务使总成本最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）午高峰3小时内无人机送单数是单． （2）安排无人机配送单，人工配送单，配送费用最低为元． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设人工送单数为单，则无人机送单数是单，则可得，再解方程并检验即可； （2）设无人机配送单，人工配送单，则，可得，求解：，设总的成本为元，则，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设人工送单数为单，则无人机送单数是单，则 ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； ∴， ∴午高峰3小时内无人机送单数是单． 【小问2详解】 解：设无人机配送单，人工配送单，则， ∴即， 解得：， 设总的成本为元，则 ∴， 而， ∴当时，总成本最低为（元）； ∴安排无人机配送单，人工配送单，配送费用最低为元． 22. 已知：甲、乙两车分别从相距千米的，两地同时出发相向而行，甲车到达地后休息了一段时间，然后原路原速返回地，结果甲车比乙车早半小时到达地．下图是甲、乙两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）甲车行驶过程中的速度是__________千米时，甲车到地后休息的时间为__________小时； （2）求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲乙两车出发多长时间，在途中相遇． 【答案】（1），； （2）； （3）小时或小时两车相遇． 【解析】 【分析】（）根据函数图象结合路程时间速度进行求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况讨论求解即可； 本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 如图， 由题意得甲车行驶过程中的速度是（千米时）， ∵甲车比乙车早半小时到达地， ∴点表示的数为， ∵原路原速返回， ∴（1小时） ∴甲车到地后休息的时间为小时， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得点，， 设线段对应的函数解析式， ∴， 解得， ∴线段对应的函数解析式， 【小问3详解】 如图设段解析式为，过点， ∴，解得， ∴段解析式为， 设段解析式为，且过点， ∴，解得， 则段解析式为， ∴甲乙两车在途中相遇时，或， 解得：或， 答：小时或小时两车相遇． 23. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 24. 阅读材料：在平面直角坐标系中，已知轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求，间的距离．如图，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，，所以，两点间的距离 根据以上探究，解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为_________； （2）在平面直角坐标系中，，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为_________； （3）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； （4）应用平面内两点间的距离公式，直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）根据题意，直接由两点之间距离公式求解； （2）设，由题意得：，可得方程，解方程即可 （3）作点B关于x轴的对称点连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值即为线段的长度，根据两点间的距离公式，进而求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：，，则，两点间的距离为； 【小问2详解】 解：设， 由题意得：， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：作点B关于x轴对称的点，连接，直线于x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点B与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问4详解】 解：代数式，表示点到点和的距离之和，如图： 由两点之间线段最短，可知点在以和为端点的线段上时，其距离之和最小， ∴， ∴代数式的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $