精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

数学 数学试题共6页、满分120分，闭卷考试，考试时间为120分钟． 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区威内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】、，不能与合并，故本选项错误； 、，能与合并，故本选项正确； 、，不能与合并，故本选项错误； 、，不能与合并，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2. 下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况． 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（杯） 186 479 217 90 根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】直接比较四种口味销量：乙（479杯）最高， 选择能代表“销量最高”的统计量（众数），本题考查了统计量-众数​及应用，众数：找“最畅销/最热门”（本题关键）；​平均数：看整体平均水平；中位数​：分析中间位置；方差​ ：衡量数据稳定性．解题关键​是理解商业决策中“增加进货”需锁定“销量最高”（众数）． 【详解】解：众数​：数据中出现次数最多的值，​乙销量479杯，最高​，直接反映最受欢迎口味． 其他统计量： ​平均数​（所有销量总和），无法突出乙的优势； ​中位数​（销量排序后中间值），不能体现乙销量最高； ​方差​（数据波动程度），与畅销度无关； 因此，饮品店基于众数（乙销量最高）做出决策， 故选：． 3. 如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的图象是解题关键．设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，分三种情况：①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前、②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前、③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，据此求解即可得． 【详解】解：设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分， 由题意可知，①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前，，是一条经过原点的直线的一部分； ②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前，，是平行于轴的直线的一段； ③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，容器最高水位开始匀速上升，但由于鱼缸的底面大于玻璃杯的底面，所以此时水位匀速上升的速度比开始慢，与的函数图象是直线的一部分； 故选：A． 4. 将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 【详解】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． 5. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 6. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据点B的坐标得 ，再根据矩形性质即可得出的长． 此题主要考查了点的坐标，矩形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点B的坐标是， ， 四边形是矩形， 故选： 二、填空题（每题3分，共15小题） 7. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 8. 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的特点：箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，根据箱线图的结构解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：14． 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线证明，再由即可求解． 【详解】∵由题意可知，是的平分线， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 10. 如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别算出、、的面积，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴． ∵，， ∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 11. 如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值． 【详解】 连接CE, 因为A、C关于BD对称． CE即为AP+PE的最小值． ∵正方形边长为4,E是AB中点, ∴BC=4,BE=2． 故答案为: . 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 三、解答题（共11题） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，先根据二次分式性质进行化简，根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 13. 已知与成正比例，当时． （1）求关于的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设，然后把，代入计算，即可作答． （2）依题意，把点代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得． ∴， 即． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得． 14. 如图，在正方形中，E、F分别是、边上的点，，连接，交于点G，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是正方形，可得，，从而可证，有，又，可得，即可得． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知证明． 15. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 16. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__________； （3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）补全频数直方图如下： ； （2）20％； （3）84．5分； （4）672人 【解析】 【分析】（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可． 【详解】解：（1）8÷16％=50人， 50-4-8-10-12=16人， （2）m==20％； （3）∵“50~80”分的人数已有22人， ∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分， ∴中位数是分； （4）人． ∴优秀人数是672人． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图，并简单叙述理由． （1）在图1中，画出一个平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图2中，画出一个菱形ABCD，使其面积为4； （3）在图3中，画出一个矩形ABCD，使其邻边不等，且都是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求画出平行四边形即可； （2）根据要求画出菱形即可； （3）根据要求画出矩形即可． 【详解】解：（1）在图1中，平行四边形ABCD如图所示； （2）在图2中，菱形ABCD如图所示； （3）在图3中，矩形ABCD如图所示； 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，勾股定理，无理数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． （1）他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； （2）在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断出四边形中有一个角为直角，再根据矩形的定义即可判断四边形为矩形． 【小问1详解】 解：由题意可知，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ，，， 为矩形． 19. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】（1）60 （2） （3）途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； 【小问3详解】 略 20. 如图，在小正方形网格中建立平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），已知线段两个端点的坐标分别为． （1）画出线段关于x轴对称的线段，并分别写出点，点的坐标； （2）已知x轴上有一点，连接． ①当的值最小时，求m的值； ②直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据要求画出点、关于x轴对称点，再读取点的坐标，即可作答． （2）①连接，求出直线的解析式为，再令时得出，即可作答． ②根据两点之间线段最短，的长度即为的最小值，再用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 解：如图所示：线段即为所求， ∴； 【小问2详解】 解：①作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最小的点． 设直线的解析式为 把代入， 得， 解得， 当时，则，解得 即当的值最小时，； ②观察网格特征得出； 即的最小值为． 21. 如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得； （2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形； （3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果． 【详解】解：（1）如图①，在中，， ∵是斜边上的中线，， ∴． （2）四边形是菱形． 理由如下： 如图②∵于点， ∴， ∴； 由折叠得，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴； 如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． （1）点A坐标为______，点B坐标为______． （2）若点在函数图像上，求n的值． （3）若点在函数图像上，求m的值． （4）点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 【答案】（1）， （2） （3） （4）①，；②，；③， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）令，分别求出的值，即可A、B两点坐标； （2）当时，代入求值即可； （3）当时，分情况代入求值即可； （4）利用一次函数的增减性，确定图像G的最高点和最低点的纵坐标即可，注意分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当，解得， 当，解得， 综上所述：的值为； 【小问4详解】 解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为， ∴； 综上所述：①，；②，；③，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 数学试题共6页、满分120分，闭卷考试，考试时间为120分钟． 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区威内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 2. 下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况． 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（杯） 186 479 217 90 根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共15小题） 7. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 8. 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的长为_____． 10. 如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则______． 11. 如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（共11题） 12. 计算：． 13. 已知与成正比例，当时． （1）求关于的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 14. 如图，在正方形中，E、F分别是、边上的点，，连接，交于点G，求证：． 15. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 16. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__________； （3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图，并简单叙述理由． （1）在图1中，画出一个平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图2中，画出一个菱形ABCD，使其面积为4； （3）在图3中，画出一个矩形ABCD，使其邻边不等，且都是无理数． 18. 某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． （1）他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； （2）在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 19. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 20. 如图，在小正方形网格中建立平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），已知线段两个端点的坐标分别为． （1）画出线段关于x轴对称的线段，并分别写出点，点的坐标； （2）已知x轴上有一点，连接． ①当的值最小时，求m的值； ②直接写出的最小值． 21. 如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． （1）点A坐标为______，点B坐标为______． （2）若点在函数图像上，求n的值． （3）若点在函数图像上，求m的值． （4）点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $