1.3 集合的基本运算（8个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年暑假新高一数学

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.3 集合的基本运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：交集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1. 2.交集性质 方法技巧 1.列举集合找出两个集合全部公共元素 2.数集借助数轴取两段取值重叠部分 3.含参集合联立两个集合约束条件解公共解 易错提醒 1.混淆“且”与“或”误将交集条件写成或 2.数轴取范围时多取无重叠区域 3.忽略空集情况两集合无公共元素时交集为空集 （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知集合 ，集合 ，则 （    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以． 已知集合，，则 （    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以. 因此. （24-25高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知集合，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得. 已知集合，，求 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得方程组的解，进而得到答案. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得或， 所以 . （2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则的子集个数是（   ）小试牛刀3 A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】解方程组求得其解，即可确定的元素，即可求得答案. 【详解】联立，得，解得， 则的解为，，， 集合，故， 所以的子集个数是. 【题型2：并集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1. 2.并集性质 方法技巧 1.列举集合合并全部元素重复元素只保留一个 2.数集画数轴覆盖两段全部取值区间 3.多个集合并运算逐步两两合并化简 易错提醒 1.混淆“或”与“且”把并集条件写成且 2.合并元素不做去重写出重复元素违反互异性 3.数轴端点取舍出错漏写区间边界数值 （25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据并集的定义，合并两个集合的所有元素并去重即可求解. 【详解】根据并集的定义,，，可得. （25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 已知集合，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. （25-26高一上·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由交集可知，，，结合二次函数对称性分析可得，进而可得并集. 【详解】因为，集合，可知，，， 又因为，且的图象开口向上，对称轴为， 由对称性可知，所以，共4个元素. 故选：C. （25-26高一上·河北·期中）已知集合，，且，求：小试牛刀3 (1)m，n的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查交集的定义，解题的关键在于利用这一条件，将代入两个集合所对应的方程，从而求出m、n的值； （2）将第一问的m、n的值代入方程，进一步求解集合A、B，根据并集的定义进而得到. 【详解】（1）因为，所以，所以是方程和的公共解； 所以，解得； （2）因为，所以； 因为，所以； 所以 【题型3：补集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1.全集下 2.补集性质 方法技巧 1.先锁定全集范围再剔除集合A内所有元素 2.数集数轴先标出全集擦掉A区域剩余部分即为补集 3.文字题先明确题干给定全集不可默认实数集 易错提醒 1.忽略全集限制直接在全体实数内求补集 2.数轴取补集颠倒内外区间范围 3.空集补集等于全集全集补集为空集容易记反 （25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知全集，集合，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. （2026·江苏南通·模拟预测），，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求． 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： （25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. （25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及.小试牛刀2 【答案】；，或 【分析】根据题意，结合集合交集、并集和补集的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由全集，且集合， 则， 又由或， 则，或. （25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．小试牛刀3    【答案】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 【题型4：交并补的混合运算】 【练方法】 公式结论 1.运算优先级先求补集再算交并 2.分配律 3.德摩根定律 方法技巧 1.严格遵循运算顺序有括号先算括号内部 2.复杂运算分步拆解先算补集再计算交或并 3.可借助Venn图分层标记区域简化混合运算 易错提醒 1.运算顺序颠倒先算交并再求补集 2.德摩根定律记反交的补集误写成交 3.多层括号不分步计算区间范围推导混乱 （2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集，集合，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. （25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，，经典例题2例题 (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，. (2)． 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． （25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，．小试牛刀1 (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. （25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由Venn图可知，阴影部分表示集合，进而可求解. 【详解】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D （2025高一上·安徽六安·专题练习）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC三个选项；结合集合的包含关系推理判断D. 【详解】全集U的两个非空真子集A，B满足，， 如图，当时，，故A错误； 由图知，，集合不是集合的子集，故BC错误； ，，，故D正确. 故选：D. 【题型5：根据交并补运算求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.两集合取值区间无重叠部分 2. 3.代表B全部包含于A 方法技巧 1.分集合为空集非空集合两类讨论参数 2.数轴标注区间按交并补要求列不等式组 3.解出参数后代回检验运算条件是否成立 易错提醒 1.遗漏集合为空集的临界讨论 2.不等式端点等号取舍错误扩大或缩小参数范围 3.求出参数不回代验证交并补结果 （25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，.经典例题1例题 (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. （25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，.经典例题2例题 (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. （25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或．小试牛刀1 (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． （25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知全集，集合或，，小试牛刀2 (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用交集的概念计算即可； （2）利用并集与补集的概念分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为集合或， 所以， （2）易知或， ∴， 当时，即，满足； 当，只需，即也满足； 综上所述，实数a的取值范围为. （25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 【题型6：容斥原理及其应用】 【练方法】 公式结论 1.两个集合 2. 方法技巧 1.计数时先累加各集合数量再减去重复重叠部分 2.文字应用题标注单区域两重叠区域三重叠区域数量 3.已知总人数反求交集时变形公式逆向计算 易错提醒 1.两集合容斥忘记减去交集数量重复计算重叠元素 2.三集合容斥最后遗漏加回三重交集 3.混淆只参与两项同时参与三项的计数区域 （25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）经典例题1例题 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. （25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人.经典例题2例题 A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D （25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种.小试牛刀1 【答案】 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. （25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人.小试牛刀2 【答案】4 【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数. 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. （25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名．小试牛刀3 【答案】 60 40 【分析】本题可根据集合的性质，通过分析选A菜品和选B菜品的顾客人数，利用集合交集的性质来确定A、B两种菜品都选了的顾客人数的最大值和最小值． 【详解】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 【题型7：利用Venn图求集合】 【练方法】 公式结论 1. Venn图分独立区域互不重叠部分代表单一集合相交区域代表交集 2.全集矩形包含全部圆形区域矩形空白区域为补集 方法技巧 1.从最内层交集区域开始填数向外逐层填充 2.已知交并条件对应标记图形对应区域 3.多集合运算分割图形直观区分交并补范围 易错提醒 1.填数字时未扣除重叠区域数值重复计数 2.补集误填圆形内部忽略矩形空白部分 3.混淆交集区域与并集区域图形范围 （25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为. 故选：B. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ）经典例题2例题 A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. （25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图表示集合运算的意义，结合排除法判断各选项，即可得答案. 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． （25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可. 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 故选：A （25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 【题型8：集合中的新定义运算】 【练方法】 1.按题干给定新式子替换交并逻辑无固定通用公式 2.新运算本质仍是元素满足的约束条件 （25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. （25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD （25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD （2025高一·全国·专题练习）（多选）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． （25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ）小试牛刀3 A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 2．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. 5．（2026·天津北辰·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 又，，则 . 6．（25-26高二下·浙江·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在全集中，满足的元素是，因此， 补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以． 7．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可. 【详解】因为，，所以. 8．（25-26高一下·江西九江·期中）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合在全集中的补集，再计算该补集与集合的交集即可得解. 【详解】已知，， 因此，又，因此. 9．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 10．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 11．（25-26高一上·山东烟台·期中）为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】只需将每个社团中的人数减去同时参加两个社团的人数，即可得到仅参加一个社团的人数，再加上同时参加两个社团的人数，即为该班学生人数. 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 12．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 13．（25-26高三上·宁夏银川·期中）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 【答案】A 【分析】结合图形可得阴影部分区域内的元素满足或，即可求解. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 14．（25-26高一上·安徽六安·期中）全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由条件分析出当时，还有另外的7个元素，，也在S中，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称， 所以当时，则有， 进而有，. 对于①，若，则，故①正确； 对于②，若，则，，则S中能确定4个元素， 故②不正确； 对于③，若，当时，S中能确定4个元素； 当时，S中也能确定4个元素；当时，S中能确定8个元素； 所以当，则S中元素的个数一定为偶数，故③正确； 对于④，若， 由S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称可知， ， ，即， 故④正确.综上，①③④正确. 故选：C 二、多选题 15．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 16．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 三、解答题 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 18．（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 19．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 20．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 21．（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合为非空数集，规定：，. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 因为，所以， 若，则，而， 故，又， 而均为中元素，故，即， 又因为，故，得证. (3) 【分析】（1）根据题目定义可直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值. 【详解】（1）由，根据定义：，， 所以. （2）略 （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，解得，即， 实际上当时满足题意. 证明如下： 设， 则， 依题意有，解得， 故的最小值为676，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 22．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.3 集合的基本运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：交集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1. 2.交集性质 方法技巧 1.列举集合找出两个集合全部公共元素 2.数集借助数轴取两段取值重叠部分 3.含参集合联立两个集合约束条件解公共解 易错提醒 1.混淆“且”与“或”误将交集条件写成或 2.数轴取范围时多取无重叠区域 3.忽略空集情况两集合无公共元素时交集为空集 （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知集合 ，集合 ，则 （    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 已知集合，，则 （    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知集合，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 已知集合，，求 ．小试牛刀2 （2026高三下·重庆·专题练习）已知集合，则的子集个数是（   ）小试牛刀3 A．8 B．7 C．4 D．3 【题型2：并集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1. 2.并集性质 方法技巧 1.列举集合合并全部元素重复元素只保留一个 2.数集画数轴覆盖两段全部取值区间 3.多个集合并运算逐步两两合并化简 易错提醒 1.混淆“或”与“且”把并集条件写成且 2.合并元素不做去重写出重复元素违反互异性 3.数轴端点取舍出错漏写区间边界数值 （25-26高一下·云南普洱·期末）设集合，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 已知集合，则（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 （25-26高一上·河北·期中）已知集合，，且，求：小试牛刀3 (1)m，n的值； (2). 【题型3：补集的概念及运算】 【练方法】 公式结论 1.全集下 2.补集性质 方法技巧 1.先锁定全集范围再剔除集合A内所有元素 2.数集数轴先标出全集擦掉A区域剩余部分即为补集 3.文字题先明确题干给定全集不可默认实数集 易错提醒 1.忽略全集限制直接在全体实数内求补集 2.数轴取补集颠倒内外区间范围 3.空集补集等于全集全集补集为空集容易记反 （25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知全集，集合，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·江苏南通·模拟预测），，则______．经典例题2例题 （25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及.小试牛刀2 （25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．小试牛刀3    【题型4：交并补的混合运算】 【练方法】 公式结论 1.运算优先级先求补集再算交并 2.分配律 3.德摩根定律 方法技巧 1.严格遵循运算顺序有括号先算括号内部 2.复杂运算分步拆解先算补集再计算交或并 3.可借助Venn图分层标记区域简化混合运算 易错提醒 1.运算顺序颠倒先算交并再求补集 2.德摩根定律记反交的补集误写成交 3.多层括号不分步计算区间范围推导混乱 （2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集，集合，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．中元素个数为 D． （25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，，经典例题2例题 (1)求，； (2)求． （25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，．小试牛刀1 (1)求； (2)求； (3)求． （25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 （2025高一上·安徽六安·专题练习）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：根据交并补运算求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.两集合取值区间无重叠部分 2. 3.代表B全部包含于A 方法技巧 1.分集合为空集非空集合两类讨论参数 2.数轴标注区间按交并补要求列不等式组 3.解出参数后代回检验运算条件是否成立 易错提醒 1.遗漏集合为空集的临界讨论 2.不等式端点等号取舍错误扩大或缩小参数范围 3.求出参数不回代验证交并补结果 （25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，.经典例题1例题 (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. （25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，.经典例题2例题 (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. （25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或．小试牛刀1 (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． （25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知全集，集合或，，小试牛刀2 (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． （25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：容斥原理及其应用】 【练方法】 公式结论 1.两个集合 2. 方法技巧 1.计数时先累加各集合数量再减去重复重叠部分 2.文字应用题标注单区域两重叠区域三重叠区域数量 3.已知总人数反求交集时变形公式逆向计算 易错提醒 1.两集合容斥忘记减去交集数量重复计算重叠元素 2.三集合容斥最后遗漏加回三重交集 3.混淆只参与两项同时参与三项的计数区域 （25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）经典例题1例题 A．0 B．1 C．2 D．3 （25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人.经典例题2例题 A．10 B．12 C．14 D．19 （25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种.小试牛刀1 （25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人.小试牛刀2 （25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名．小试牛刀3 【题型7：利用Venn图求集合】 【练方法】 公式结论 1. Venn图分独立区域互不重叠部分代表单一集合相交区域代表交集 2.全集矩形包含全部圆形区域矩形空白区域为补集 方法技巧 1.从最内层交集区域开始填数向外逐层填充 2.已知交并条件对应标记图形对应区域 3.多集合运算分割图形直观区分交并补范围 易错提醒 1.填数字时未扣除重叠区域数值重复计数 2.补集误填圆形内部忽略矩形空白部分 3.混淆交集区域与并集区域图形范围 （25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ）经典例题2例题 A． B． C．或 D． （25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：集合中的新定义运算】 【练方法】 1.按题干给定新式子替换交并逻辑无固定通用公式 2.新运算本质仍是元素满足的约束条件 （25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C． D． （25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高一·全国·专题练习）（多选）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 （25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ）小试牛刀3 A．或 B．或 C． D．或 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津北辰·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·江西九江·期中）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 11．（25-26高一上·山东烟台·期中）为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 12．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 13．（25-26高三上·宁夏银川·期中）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 14．（25-26高一上·安徽六安·期中）全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 15．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 16．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 18．（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 20．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 21．（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合为非空数集，规定：，. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 22．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $