第四周 第2天 第二章二次函数与一元二次方程、不等式 章末复习暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 2天 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习 章 末 复 习 构体系 · 强思维 第1部分 不等式及其性质 1. 作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 2. 运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题. 3. 掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 🎯例1　(1)若A=a2+3ab，B=4ab-b2，则A，B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B (2)(多选)已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B. C. D. 不等式及其性质的两个关注点： (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法. 反思 归纳 📐跟踪训练1　(多选)设x，y为实数，满足2≤x≤5，1<y≤3，则下列结论正确的是(　　) A.3≤x+y<8 B.2<xy≤15 C.-1≤x-y<4 D.≤5 第2部分 利用基本不等式求最值 1.基本不等式：(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 🎯例2　(1)若0<x<2，则x(2-x)的最大值是(　　) A.2 B. C.1 D. (2)已知a>0，b>0，且=1，则a+b的最小值为　　　　. 基本不等式的关注点 (1)前提：一正、二定、三相等. (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 反思 归纳 📐跟踪训练2　已知函数y=x-4+(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则a=　　　　　　，b=　　　　　　. 第3部分 一元二次不等式的解法 1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 🎯例3　若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求实数a的值； (2)求不等式>a+5的解集. (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根. 反思 归纳 📐跟踪训练3　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 第4部分 不等式恒(能)成立问题 1.熟练掌握二次不等式恒(能)成立的等价条件，理解不等式恒(能)成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 2.掌握不等式恒(能)成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 🎯例4　设函数y=-mx2+mx-1，m∈R. (1)若命题：∃x∈R，y>0是假命题，求m的取值范围； (2)若存在0<x<4，使得y≥(-m+1)x2+3成立，求实数m的取值范围. 解决不等式恒(能)成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题. 反思 归纳 📐跟踪训练4　已知x>0，y>0，且=2，若x+2y>m2-3m-1恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤-1或m≥4} B.{m|m≤-4或m≥1} C.{m|-1<m<4} D.{m|-4<m<1} 第5部分 通过构造数学模型解决生活中的问题 1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 🎯例5　现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月生产多少个人形机器人时，平均每个人形机器人的成本最低？最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本. 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模. (2)设出变量，列出函数关系式. (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 反思 归纳 📐跟踪训练5　如图所示，某学校拟在一张矩形海报纸上，设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，发布运动会的预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为1 800 cm2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5 cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10 cm，设海报纸的长和宽分别为x cm，y cm. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？最少为多少cm2？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 2天 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习 章 末 复 习 构体系 · 强思维 第1部分 不等式及其性质 1. 作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 2. 运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题. 3. 掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 🎯例1　(1)若A=a2+3ab，B=4ab-b2，则A，B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B 答案　B 解析　∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2) =b2≥0， ∴A≥B. (2)(多选)已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B. C. D. 答案　AB 解析　对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0， 所以>0，故选项B正确； 对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1， 满足c>b>a，此时=-2， =-故选项C错误； 对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时=2， =-此时故选项D错误. 不等式及其性质的两个关注点： (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法. 反思 归纳 📐跟踪训练1　(多选)设x，y为实数，满足2≤x≤5，1<y≤3，则下列结论正确的是(　　) A.3≤x+y<8 B.2<xy≤15 C.-1≤x-y<4 D.≤5 答案　BC 解析　∵2≤x≤5，1<y≤3，∴3<x+y≤8，2<xy≤15，故A错误，B正确； ∵-3≤-y<-1，∴-1≤x-y<4，故C正确； ∵<1，∴<5，故D错误. 第2部分 利用基本不等式求最值 1.基本不等式：(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 🎯例2　(1)若0<x<2，则x(2-x)的最大值是(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　C 解析　因为0<x<2， 所以2-x>0，x(2-x)≤=1， 当且仅当x=2-x，即x=1时，等号成立. 所以x(2-x)的最大值为1. (2)已知a>0，b>0，且=1，则a+b的最小值为　　　　. 答案　2+1 解析　由a>0，b>0=1， 得a+b=(a+1)+(b+1)-2 =[(a+1)+(b+1)]-2 =+1≥2+1=2+1， 当且仅当即a=b=+1时取等号，所以a+b的最小值为2+1. 基本不等式的关注点 (1)前提：一正、二定、三相等. (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 反思 归纳 📐跟踪训练2　已知函数y=x-4+(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则a=　　　　　　，b=　　　　　　. 答案　2　1 解析　y=x-4+=(x+1)+-5， 因为x>-1，所以x+1>0， 所以y≥2-5=2×3-5=1， 当且仅当x+1= 即x=2时，等号成立， 此时a=2，b=1. 第3部分 一元二次不等式的解法 1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 🎯例3　若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求实数a的值； (2)求不等式>a+5的解集. 解　(1)依题意，可得方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2，且a<0. 由根与系数的关系，得 解得a=-2. (2)将a=-2代入不等式，得>3， 即-3>0， 整理得>0，即(x+1)(x+2)<0， 解得-2<x<-1， 则不等式的解集为{x|-2<x<-1}. (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根. 反思 归纳 📐跟踪训练3　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解　①当a=0时，原不等式即为-x+1<0， 解得x>1； ②当a<0时，原不等式化为(x-1)>0， 解得x<或x>1； ③当a>0时，原不等式化为(x-1)<0. 若=1，即a=1时，不等式无解； 若<1，即a>1时，解得<x<1； 若>1，即0<a<1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 第4部分 不等式恒(能)成立问题 1.熟练掌握二次不等式恒(能)成立的等价条件，理解不等式恒(能)成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 2.掌握不等式恒(能)成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 🎯例4　设函数y=-mx2+mx-1，m∈R. (1)若命题：∃x∈R，y>0是假命题，求m的取值范围； (2)若存在0<x<4，使得y≥(-m+1)x2+3成立，求实数m的取值范围. 解　(1)由题意知命题：∀x∈R，y≤0是真命题，则∀x∈R，不等式-mx2+mx-1≤0恒成立， 当m=0时，-1≤0，显然成立； 当m≠0时，函数y=-mx2+mx-1为二次函数， 则解得0<m≤4. 综上，m的取值范围是{m|0≤m≤4}. (2)存在0<x<4，使得-mx2+mx-1≥(-m+1)x2+3成立， 即当0<x<4时，x2-mx+4≤0有解， 即m≥=x+对0<x<4能成立， 因为x+≥2=4，当且仅当x=即x=2时等号成立， 所以m≥4，即m的取值范围是{m|m≥4}. 解决不等式恒(能)成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题. 反思 归纳 📐跟踪训练4　已知x>0，y>0，且=2，若x+2y>m2-3m-1恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤-1或m≥4} B.{m|m≤-4或m≥1} C.{m|-1<m<4} D.{m|-4<m<1} 答案　C 解析　由=2得2y+x+1=2(x+1)y，所以x+1=2xy，所以2y=1+ 所以x+2y=x++1≥2+1=3，当且仅当x=1，y=1时，等号成立， 所以(x+2y)min=3， 所以x+2y>m2-3m-1恒成立， 可化为3>m2-3m-1，即m2-3m-4<0， 解得-1<m<4. 所以实数m的取值范围是{m|-1<m<4}. 第5部分 通过构造数学模型解决生活中的问题 1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 🎯例5　现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月生产多少个人形机器人时，平均每个人形机器人的成本最低？最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本. 解　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有y=+10≥2+10=30， 当且仅当即x=100时取等号. 所以该企业每月生产100个人形机器人时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2)设月利润为W万元，则W=x-1 000-10x-+13x-1 000， 由题意知+13x-1 000≥400， 整理得x2+130x-14 000≥0，解得x≤-200(舍去)或x≥70. 所以该企业每月至少生产70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模. (2)设出变量，列出函数关系式. (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 反思 归纳 📐跟踪训练5　如图所示，某学校拟在一张矩形海报纸上，设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，发布运动会的预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为1 800 cm2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5 cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10 cm，设海报纸的长和宽分别为x cm，y cm. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？最少为多少cm2？ 解　(1)由题意知，两个矩形宣传栏的长为 cm，宽为(y-10)cm， ∴2··(y-10)=1 800， 整理得y=+10(x>20). (2)由(1)知(x-20)(y-10)=1 800， 即xy=10x+20y+1 600， ∵x>20，y>10，由基本不等式可得xy=10x+20y+1 600≥20+1 600， 令t=则t2-20t-1 600≥0， 解得t≤-20(舍去)或t≥40. ∴xy≥3 200，当且仅当 即x=80，y=40时等号成立， ∴海报长80 cm，宽40 cm时，用纸量最少，最少用纸量为3 200 cm2. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $