暑假预习：已知线线角、线面角、面面角求其他量的向量求法专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间角向量求法的专项突破，通过"已知角求未知量"的问题链设计，系统训练空间向量工具的应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知线线角求其他量|2例+2变式|含异面直线成角条件，求解二面角、参数值等|从线线垂直证明到空间角计算，构建"作角-求角-用角"的逻辑链条| |已知线面角求其他量|2例+2变式|给定线面角正弦值，反求线段长或点位置|以线面垂直为基础，强化法向量求法与线面角公式的逆向应用| |已知面面角求其他量|2例+2变式|结合二面角条件，探究体积、距离及存在性问题|通过折叠、动态点等情境，深化面面角与空间距离的转化关系|

暑假预习：已知线线角、线面角、面面角求其他量的向量求法专项训练 暑假预习：已知线线角、线面角、面面角求其他量的向量求法专项训练 考点目录 已知线线角求其他量的向量求法 已知线面角求其他量的向量求法 已知面面角求其他量的向量求法 考点一 已知线线角求其他量的向量求法 例1．（2026·广西桂林·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 例2．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 变式1．（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．    (1)求证：侧面PAC⊥平面PBC； (2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小． 变式2．（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 考点二 已知线面角求其他量的向量求法 例1．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 变式1．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 变式2．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 考点三 已知面面角求其他量的向量求法 例1．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·湖南株洲·三模）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． (1)若是的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 变式2．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：已知线线角、线面角、面面角求其他量的向量求法专项训练 暑假预习：已知线线角、线面角、面面角求其他量的向量求法专项训练 考点目录 已知线线角求其他量的向量求法 已知线面角求其他量的向量求法 已知面面角求其他量的向量求法 考点一 已知线线角求其他量的向量求法 例1．（2026·广西桂林·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题设条件先证明平面SAD，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）由条件先证明平面ABCD，建系后利用空间向量法结合平面求出，再利用空间向量夹角的公式计算即得. 【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以， 又已知，所以， 又，所以， 因为平面SAD， 所以平面SAD，而平面SAB， 所以平面平面SAD. （2）因为，所以SD与BC所成角的大小等于， 又，所以， 取AD、BC的中点分别为O、N，连SO、ON， 则， 由（1）平面，又 平面ABCD，则得平面平面ABCD， 又平面为平面SAD和平面ABCD的交线， 所以平面ABCD， 故可以为原点，ON、OD、OS分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则， 因为可得， 故得，则，又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以，则，解得， 所以M是SD的中点，OM是的中位线，， 由（1）知，平面SDC，所以平面SDC， 故是平面SDC的一个法向量，且， 所以， 所以， 故二面角的正弦值为． 例2．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）写出向量坐标，利用夹角公式可得答案； （3）利用钝角可得数量积小于零且不等于，求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， ，，，; ，， 因为，所以， 所以， 因为，所以. （2），； 因为直线与所成角为， 所以； 解得，因为动点在对角线上，所以. （3），， 因为为钝角，所以，解得. 又因为在上恒成立，所以.    变式1．（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．    (1)求证：侧面PAC⊥平面PBC； (2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）由线面垂直的性质得PB⊥AC，再由线面垂直、面面垂直的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，根据已知异面直线所成角求的长，进而求出平面ABC与平面ABE的法向量，应用向量法求面面角的大小. 【详解】（1）由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC， 因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC； 又PB∩BC＝B，面， 所以AC⊥平面PBC，又平面PAC， 所以面PAC⊥面PBC. （2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0， 则， 所以， 由得：，由， ∴，解得m，则， 设面ABE的一个法向量为，则，取x＝1，则． 取面ABC的一个法向量，故， 所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．    变式2．（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60° 【分析】（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB; （2）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标. 【详解】（1）以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面PCB的法向量为， 则，即，令，则，，∴， ∴，故平面PCB． （2）设，则，∴， ∵DM与PC所成角为60°，， ∴，解得， 故在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60°． 考点二 已知线面角求其他量的向量求法 例1．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 变式1．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．    则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 变式2．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 考点三 已知面面角求其他量的向量求法 例1．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）先由梯形边长与角度判定为等边三角形，用余弦定理算出，借助勾股逆定理证，再结合面面垂直性质定理推出平面，最终得线线垂直； （2）取中点，利用等腰与面面垂直条件以为原点建空间直角坐标系，由棱锥体积求出高；设表示坐标，分别求出两平面法向量，结合二面角正弦值算出余弦绝对值，列方程解出，最后乘长度得到． 【详解】（1）略 （2）取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接，交于，连接， 在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 连接，菱形中，，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，， 所以平面； (3)不存在，利用平面夹角的向量坐标公式列式计算即可判断 【分析】（1）中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可； （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）不存在，理由如下：取的中点， 因为分别是的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，， 设，， 因为，所以， 解得，，，即， 所以, 设平面的法向量， ，令，得， 显然是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为， 所以，化简得，解得， 因为，所以线段上不存在点，使二面角为． 变式1．（2026·湖南株洲·三模）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． (1)若是的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出两个平面法向量，利用向量法证明即可； （2）设点的坐标，利用向量法表示出平面与平面所成夹角公式，求出点的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）设，则， 设此时平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面与平面所成夹角为，且 即， 即，解得：或（舍去）， 所以平面的一个法向量为， 又点，则， 所以点到平面的距离：. 变式2．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $