暑假预习：点到直线距离、点到平面距离的向量求法专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦点到直线与平面距离的向量求法，通过精选例题与变式题构建从坐标计算到几何体综合应用的知识逻辑链，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到直线距离的向量求法|3例+3变式|含坐标直接计算、结合鳖臑/正方体等几何体的距离问题|从向量数量积推导距离公式，拓展至空间几何体中的线线距离计算| |点到平面距离的向量求法|3例+3变式|结合直棱柱/四棱台/圆锥等多面体，常与面面垂直、二面角综合|基于平面法向量构建距离公式，深化空间向量在三维距离计算中的应用|

暑假预习：点到直线距离、点到平面距离的向量求法专项训练 暑假预习：点到直线距离、点到平面距离的向量求法专项训练 考点目录 点到直线距离的向量求法 点到平面距离的向量求法 考点一 点到直线距离的向量求法 例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 例2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 例3．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 变式1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以， 所以，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 变式3．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】/ 【详解】依题意，，，，， 所以. 考点二 点到平面距离的向量求法 例1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系： ，，，，，，，． 因为分别为，的中点，所以，． 有，底面的法向量为. 因为，所以 又不在平面内，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）略 （2） 平面的一个法向量为，平面中，， ，，取，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 所以两平面夹角的余弦值为． （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 点到该平面的距离为． 例3．（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）向量法求点面距离即可. 【详解】（1）在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【详解】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 变式2．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)在平面内作交于点，连接， 由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，，则，即， 在中，由，，，所以，故， 又，且，、平面， 故平面，因为平面，所以； (2) 【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， 得到，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取， 解得，得， 因为，设点到平面的距离为, 由点到平面的距离公式得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：点到直线距离、点到平面距离的向量求法专项训练 暑假预习：点到直线距离、点到平面距离的向量求法专项训练 考点目录 点到直线距离的向量求法 点到平面距离的向量求法 考点一 点到直线距离的向量求法 例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 变式1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 变式3．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 考点二 点到平面距离的向量求法 例1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 例3．（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 变式2．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $