暑假预习：空间线段动点存在性问题、空间角度最值与范围问题的向量求法专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间几何中向量法的深度应用，通过暑假预习专项训练系统突破动点存在性判断与角度最值范围求解，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间线段动点存在性问题的向量求法|6题（3例+3变式）|含翻折/直棱柱/棱锥背景，通过参数设点、向量运算论证点存在性|以空间向量坐标运算为基础，构建"设参-建系-求向量-列方程"的存在性判断逻辑链| |空间角度最值与范围问题的向量求法|6题（3例+3变式）|涉及线面角/二面角的范围及最大值求解，需建立函数关系分析|承接存在性问题，深化向量法求角公式应用，形成"求法向量-算角余弦-构建目标函数-求最值"的递进逻辑|

暑假预习：空间线段动点存在性问题、空间角度最值与范围问题的向量求法专项训练 暑假预习：空间线段动点存在性问题、空间角度最值与范围问题的向量求法专项训练 考点目录 空间线段动点存在性问题的向量求法 空间角度最值与范围问题的向量求法 考点一 空间线段动点存在性问题的向量求法 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球球心到直线的距离； (3)若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 【答案】(1)在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理，面面垂直的性质，及线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），求出，再根据三棱锥各棱的关系，将其扩成长方体，从而找到其外接球球心，再借助面面垂直的性质，建立以为原点的空间直角坐标系，进而利用空间中点到直线的距离公式求解即可； （3）结合（2）的空间直角坐标系，及条件求出平面的法向量，再结合（1）得到平面的一条法向量，进而利用空间向量夹角的余弦值求解即可． 【详解】（1）略 （2）结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． （3）结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 例2．（2026·甘肃酒泉·二模）如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. (1)求证：平面平面. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在直角梯形 中， 为 的中点， 所以，四边形 是正方形，所以. 所以在四棱锥中，. 因为平面平面 ，平面平面，平面 ， 所以平面 . 因为平面 ，所以. 又正方形 中，， 因为平面 ，所以 平面 . 因为平面，所以平面 平面 . (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面 ，所以，由线面垂直的判定定理结合正方形的性质，可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理即可证得平面 平面 ； （2）假设在线段 上存在点 ，满足题意，且，建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得的值，即可判断. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面 ，，所以两两垂直. 以 坐标原点，分别以所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面的法向量为，则. 令 ，则，所以平面的一个法向量为. 假设在线段 上存在点 ，满足题意，且， 则. 由与平面 所成角的正弦值为，得， 所以， 化简得，所以（负值舍去）. 所以，所以. 即存在点M满足题意，且. 例3．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)存在 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）设，假设，利用，求出点坐标即可； （2）设，求出平面的法向量，由，求出点坐标即可. 【详解】（1）因为，，，所以，故， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 假设在上存在点满足条件．    设，， 因为，所以，解得， 即在上存在点使得，此时点与点重合． （2）假设在上存在点，使得平面． 设，，． 设平面的一个法向量， 则有，得，取，可得， 由，解得， 所以在上存在点，使得平面，这时为的中点． 变式1．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，   ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，可得平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 变式2．（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论； （2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果； 方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果； （3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论； 方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果. 【详解】（1）略 （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 变式3．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. (2)存在，且与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 考点二 空间角度最值与范围问题的向量求法 例1．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （ii）. (2) 【分析】（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围. 【详解】（1）（i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 例2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）建立合适的空间直角坐标系，求相关平面的法向量即可得到答案； （ii）利用点到平面距离的空间向量法即可得到答案； （2）利用线面角的空间向量法得到表达式，再利用基本不等式和二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1）（i）以为原点，为正交基底建立空间直角坐标系， 当为中点时，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 由于平面的法向量为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （ii）设，则， 因为,,,四点共面，所以设， 即，得，当时，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 所以点到平面的距离为． （2）由（1）得，易得平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为 ，当且仅当时取等号，此时， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 变式1．（25-26高二下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； ② (2) 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，，通过证明平面，得到 ，再结合面面垂直、线面垂直的性质即可得证； （2）解法一：建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解； 解法二：同法一求得，，平移向量和，使得二者的起点都为坐标原点，结合空间直角坐标系可得，再结合，求解范围即可. 【详解】（1）记的中点为，的中点为，连接，. 由题意，，，因而，. 而为中点，为中点，，故，进而. 又，，平面，所以平面， 而平面，则.   考虑到，则直线与直线相交，设这个交点为. 因为，，平面，所以平面. 又平面，因而平面平面. （2）在平面内，过点作直线垂直于. 由平面，且，平面， 得，，而， 则以为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，并且设， 则，可得，，，. 且，则. 则，，. 设平面的法向量为，则，即. 令，解得，则. 设平面的法向量为，则，即. 令，解得，则. 则平面和夹角余弦值为.   且，则，则， 所以平面和平面夹角余弦值的取值范围是. 方法二：前同方法一. ，，下面来探究和的夹角余弦值.    如图所示，平移向量和，使得二者的起点都为坐标原点， 取上一点，过点作轴，垂足为，过点作与所在的直线垂直，垂足为.   则，， 且，则平面，进而. 而 ， 且，，则. 则； 所以平面和平面夹角余弦值的取值范围是. 变式3．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，通过线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，通过求出平面的法向量，结合夹角公式进行求解. 【详解】（1）设线段的中点为，连接，，如下图所示 ， 在中，为的中点，为的中点,所以， 在矩形中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为，为的中点，所以为的中点， 因为为的中点，在中有，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，，， 设，且，,则，， 设平面的法向量为，因为，， 所以，故可取， 因此， 令，则， 所以当，即，时，有最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间线段动点存在性问题、空间角度最值与范围问题的向量求法专项训练 暑假预习：空间线段动点存在性问题、空间角度最值与范围问题的向量求法专项训练 考点目录 空间线段动点存在性问题的向量求法 空间角度最值与范围问题的向量求法 考点一 空间线段动点存在性问题的向量求法 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球球心到直线的距离； (3)若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 例2．（2026·甘肃酒泉·二模）如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. (1)求证：平面平面. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）如图，已知在直三棱柱中，，，，．    (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 变式1．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 变式2．（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 变式3．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 考点二 空间角度最值与范围问题的向量求法 例1．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 例2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 变式1．（25-26高二下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 变式2．（25-26高二下·福建福州·月考）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角余弦值的取值范围. 变式3．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $