暑假预习：空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间直角坐标系与空间向量坐标运算，通过分层例题与变式题构建从概念理解到综合应用的暑假预习体系，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间直角坐标系|4例+4变式|单选/多选，涉及点的对称（坐标平面/轴/原点）、几何体中坐标确定|从基础对称规律到结合长方体/正四面体的坐标应用，构建空间位置表征逻辑| |空间向量运算的坐标表示|6例+6变式|单选/多选/填空，涵盖向量坐标运算、平行垂直判定、投影向量、共线共面|从向量运算法则到方向向量/法向量应用，形成“运算-判定-应用”的推理链条|

暑假预习：空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示专项训练 暑假预习：空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示专项训练 考点目录 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 考点一 空间直角坐标系 例1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 例2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 例3．（25-26高二上·贵州黔南·期末·多选）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】把正四面体补全为正方体，根据正方体的性质，结合三角形重心坐标公式进行求解即可. 【详解】由正四面体对棱相等，补全为如图所示的正方体，易知． 由对称性可知，点还有可能落在图中点处，因四面体为正四面体， 所以是正三角形，取的重心为点． 由正三角形性质可得 因为点与点关于点对称， 设， 则根据中点坐标公式可得，， 所以． 故选：BC 例4．（25-26高二上·江西九江·阶段检测·多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 【答案】BCD 【分析】根据空间中点的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，故A错误； 选项B：点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 选项C：点关于原点对称的点的坐标为，故C正确； 选项D：点N到xOy平面的距离为4，故D正确. 故选：BCD 变式1．（25-26高二下·上海·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 变式2．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于平面对称的点，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数， 已知点的坐标为，按照规律可得关于平面的对称点坐标为. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测·多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】AD 【分析】结合空间直角坐标系点的坐标特征对选项逐一分析即可. 【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确； 点关于轴对称的点是，所以B选项错误； 点关于平面对称的点是，所以C选项错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确． 故选：AD. 考点二 空间向量运算的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 例2．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 例3．（25-26高二下·河南许昌·期中·多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 例4．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 例5．（2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 例6．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 变式2．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 变式3．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 变式4．（25-26高二下·福建福州·期中·多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 变式5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 【答案】9 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 变式6．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示专项训练 暑假预习：空间直角坐标系、空间向量运算的坐标表示专项训练 考点目录 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 考点一 空间直角坐标系 例1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·贵州黔南·期末·多选）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·江西九江·阶段检测·多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 变式1．（25-26高二下·上海·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 变式2．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测·多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测·多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 考点二 空间向量运算的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 例3．（25-26高二下·河南许昌·期中·多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 例4．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 例5．（2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 例6．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 变式2．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 变式4．（25-26高二下·福建福州·期中·多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 变式5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 变式6．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $