暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量数量积的概念应用与问题解决，以典型几何体为载体，构建从基础计算到综合应用的逻辑训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的数量积|8题（含正三棱柱、正方体等典例）|以柱体、锥体为背景的数量积计算，涉及中点、棱长等要素|从数量积定义出发，结合几何体性质转化向量关系，形成“定义→几何转化→计算”的推导链条| |空间向量数量积的应用|10题（含二面角、异面直线所成角等典例）|求夹角余弦值、线段长度、证明垂直，涵盖动态与静态问题|以数量积为工具，连接空间角与距离的量化计算，体现“工具→应用→解决综合问题”的拓展逻辑|

暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 考点一 空间向量的数量积 例1．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 例2．（25-26高二下·湖南·期末）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 例3．（25-26高二上·湖南株洲·月考）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·江西抚州·期中）在正三棱柱中，，为的中点，则__________. 【答案】1 【分析】根据向量线性运算法则可得，根据数量积公式，结合正三棱柱的性质，即可得答案. 【详解】连接，由题意得为的中点，故， 由正三棱柱性质得，故， 可得.    故答案为：1. 变式1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·福建福州·月考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 变式3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 变式4．（25-26高二上·浙江温州·月考）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 考点二 空间向量数量积的应用 例1．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 例2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 例3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 例4．（25-26高三上·吉林·阶段检测）如图，两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点．已知，当长度最小时，，则线段的最短长度为______． 【答案】2或4 【分析】利用向量的运算法则，将用表示出来，等式两边同时平方，结合异面直线所成角的条件求解的最短长度. 【详解】由题意知，异面直线，所成角为， 要使线段最短，则， 此时， 则，所以或. 故答案为：2或4. 例5．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 变式4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 变式5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 暑假预习：空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 考点一 空间向量的数量积 例1．（25-26高二下·江苏·期末）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 例2．（25-26高二下·湖南·期末）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 例3．（25-26高二上·湖南株洲·月考）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 例4．（25-26高二上·江西抚州·期中）在正三棱柱中，，为的中点，则__________. 变式1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 变式2．（25-26高二上·福建福州·月考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 变式4．（25-26高二上·浙江温州·月考）在平行六面体中，，则__________. 考点二 空间向量数量积的应用 例1．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 例3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 例4．（25-26高三上·吉林·阶段检测）如图，两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点．已知，当长度最小时，，则线段的最短长度为______． 例5．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 变式4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 变式5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $