暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间角向量求法的递进式专项训练，以典例变式构建从线线角到面面角的逻辑体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成之角的向量求法|3例+3变式|结合正方体、长方体等几何体，设置证明与求角问题，强调向量坐标运算|从线线位置关系出发，通过向量数量积公式转化角的计算，奠定空间角求解基础| |线面角的向量求法|3例+3变式|涉及三棱柱、四棱锥等，需先证线面垂直或求法向量，考查线面夹角公式应用|以线线角为基础，通过平面法向量将线面角转化为线与法向量夹角的余角，体现知识递进| |面面角的向量求法|3例+3变式|含正三棱锥、圆柱内接三角形等复杂模型，要求求二面角余弦值，强化法向量方向判断|基于线面角逻辑，通过两平面法向量夹角求面面角，完成空间角向量求法体系构建|

暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点目录 异面直线所成之角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 异面直线所成之角的向量求法 例1．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 例2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 例3．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 变式1．（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2）解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 变式2．（25-26高二下·福建泉州·月考）在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，由题意得，再得到点的坐标即可求解； （2）通过向量与的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角，． 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 变式3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由异面直线的向量求法，求解即可. 【详解】（1）因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 考点二 线面角的向量求法 例1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以． 又因为平面，且平面， 所以,, 因为，且平面， 所以平面． 过作，垂足为，则平面， 所以． 又，且平面， 所以平面． 则， 即到的距离为1， 所以到的距离也为1， 在中，由勾股定理可得①， 由面积公式可得, 即②， 由①②解得， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，过作，垂足为，从而得平面，且有，即可得证； （2）结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）得 又因为平面，且平面，所以． 在直角三角形中，， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 由于， 所以, 所以， 即, 设平面的一个法向量为， 则，解得， 则． 设直线与平面所成角为，则． 又， 因此． 例2．（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 例3．（25-26高二下·山西·期末）如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面 内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线 的方向向量和平面 的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【详解】（1）略． （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 变式1．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 变式2．（25-26高一下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接， 因为底面，平面， 所以，， 因为，，平面，所以⊥平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，平面，从而证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出法向量，利用线面角正弦公式求解 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 平行四边形为正方形，故， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， 设直线与平面所成角大小为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的大小为. 变式3．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）解法1：根据线面角的定义作出线面角的平面角，计算即可求解；解法2：建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面，且平面，， 则平面． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以直线与平面所成角的正弦值为．   解法2：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形， 所以，，，，则， 因为是的中点，故，所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 考点三 面面角的向量求法 例1．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，底面，是等边三角形，是棱的中点.    (1)证明： ； (2)若，，且 ，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)设是的中点，连接，如图.    因为分别是的中点，所以， 因为底面，所以 ， 所以 . 因为是等边三角形，所以 ， 又，平面 ，所以平面 ， 又平面，所以 . (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再结合线面垂直的定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）略； （2）因为，且，所以， 又是等边三角形，所以 ，所以，即 . 如图，以为坐标原点，所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.    设，则 ，，， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即，可取 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，且平面， 所以， 因为， 所以， 因为，且平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质及已知有，，再应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求对应平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得，，，， 于是向量，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 且，，， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 例3．（25-26高二下·云南大理·期末）如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)连接，，，因为为正三角形且， 为的中点，所以，，又，， 所以，则， 又，，， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面 (2)． 【分析】（1）连接，，，利用勾股定理逆定理证明，再证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的平面角为，则， 所以锐二面角的余弦值为． 变式1．（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图， ，平面，平面，平面平面. (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)因平面，平面，平面平面,则； (2)因平面，平面,则, 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因平面，故； (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质易证； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证； （3）根据条件建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可得两两垂直，故可以点为坐标原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因，，则， 故得， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则， 由图知是钝二面角，故二面角的余弦值为. 变式2．（25-26高二下·云南昆明·期末）如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线. (1)求证：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)因为为圆的直径， 所以, 因为是圆柱的母线， 所以平面，平面， 所以, 又，平面，平面， 所以平面 又平面， 所以平面平面. (2) 【分析】(1)由为圆的直径可得，再利用平面，，从而证明平面，最后证得平面平面； （2）以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再计算二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，所以，，， 所以，， 设平面法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， 因为平面，则平面的一个法向量为， 设二面角为，， 所以二面角的余弦值为. 变式3．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：过点作，垂足为，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又因为底面，底面，所以，又， 所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又四边形为平行四边形，则，所以， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 又，则，所以，， 设平面法向量为，则，所以，即， 取，则，所以， 因为底面，所以为平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点目录 异面直线所成之角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 例1.(2425高二上福建厦门·阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，底面ABCD是边长为1的正 方考点侧棱4的彝面直线所叟角锅得量求法求： D C B (1)BD'的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值. 例2.(2526商二上福建厦门阶段检测)如图，对正方体1BCD48CD,AB=2,M,N分别是BD和4D 的中点 D B B )求V到M 的距离： 1 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 BM DN (2)求异面直线与所成角的余弦值 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 ABCD-ABC D ABCD AA=4 例3.(25-26高二上四川南充阶段检测)在长方体 中，底面 为正方形， B=2,E为4D的中点.F为CC的中点 D A EF⊥D,F (1)求证： (②)求异面直线4F与4E 所成角的余弦值. 变式1.(2026云南模拟预测)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB‖CD,AB=2CD=3, AD=AS=4 SB=5 SD=42 B M (I)求证：AB⊥平面SAD: (2)若SB=4SM,求直线BD与直线MC所成角的余弦值. 3 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 变式2.(25-26高二下·福建泉州月考)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为 60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4,CD=L,AD=2, A B (I)求BP的长： (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. ABCD-ABCD 变式3.(25-26高二下·甘肃兰州期中)如图，在棱长是2的正方体 中，O是底面1BCD 的中心， E,F分别为AB,4C 的中点 D B D E B AADD (1)证明： OF 平面 ②，求异面直线EF与CD所成角的大小 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点二 线面角的向量求法 例1.(25-26高二下·湖北武汉期末)如图，在三棱柱 8C-A8G中，A=2BA平面ABG,∠B1C=0, 平面 B ACCA 点到平面 的距离为1. A B B C AB=BA (1)求证： ACCA @考4C=2,求直线8C与平面C 所成角的正弦值. BC-AB,G中，△MBC为等边三角形，四边形 BCC B 例2.(25-26高二下·四川自贡·期末)如图，在三棱柱 是 边长为2的正方形，D为B中点，且4D=5 A CD⊥ ABBA (1)求证： 平面 ACD (②)已知P为线段8C中点，求直线4P与平面4CD 所成角的余弦值. 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 ABCD-ABC D 2,E,F DD,BC 例3.(25-26高二下山西期末)如图，正方体 的棱长为分别为 的中点 D A B E D (I)求证：EF‖平面ABCD: BCE (②)求直线1F与平面C所成角的正弦值 变式1.(2425高二下江西九江期末)如图，在三棱柱 ABC-AB,C中，平面 1BB4上平面ABC,MB=, BC=CC=2 AB=5 A (1)求证： BB,上平面ABC, CD ABC 2若AB LBC,D为4B的中点，求CD与平面 AB 所成角的正弦值， 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 ABC-ABC 变式2.(25-26高一下·辽宁鞍山阶段检测)如图，在三棱柱 中，侧棱4底面48C,B1BC AA=AB=BC=2 A B B C AC⊥AB (1)求证： BC AACC (2)求直线与平面 所成角的大小. 变式3.(25-26高二下·四川宜宾期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面 PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,E是PD的中点， D B (I)证明：AE⊥PC. (2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值. 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 考点三 面面角的向量求法 例1.(25-26高二下陕西西安期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,△ABD是等边三角形， M是棱PA的中点， M B (1)证明：BM⊥AD: (2)若PD=AD,BC=DC,且∠BCD=120°，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值 例2.(25-26高二下广东深圳期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°， PA=2, B (I)求证：BC⊥平面PAB: (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. 9 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 ABC-A BC '中，4ABC AB=AA=2 例3.(25-26高二下·云南大理期末)如图.三棱柱 正三角形， ∠AAC=∠AMB,0为BC的中点， A0=1 A B 平面ABC A0 (1)证明： B-AA-C (2)求锐二面角 的余弦值 变式1.(25-26高二下·云南楚雄期末)如图，AC=2ED,ACII平面EDB,AC⊥平面BCD,平面ACDE⊥平 面ABC. (1)求证：AC/ED: (2)求证：DC⊥BC: (3)当BC=CD=DE=1时，求二面角A-BE-D的余弦值 10 暑假预习：异面直线所成之角、线面角、面面角的向量求法专项训练 变式2，(2526高二下云南昆明期末)如图，MBC 00 为圆柱底面圆的内接三角形， BC为圆O的直径， PA是母线。 01 B (I)求证：平面PAB⊥平面PAC: 法4C=B,P1=58,求二面 B-PC-A 的余弦值， 变式3.(25-26高二下陕西西安·期末)已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD, 平面SAB⊥平面SBC. B (I)求证：BC⊥平面SAB: (2)若M=B=1AD=V 5,点5在校5C上，且SG=2BC,求平面41BD与平面BDF夹角的余弦值 11