暑假培优：几何法求线面角、已知线面角求其他量专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦线面角几何法求解与逆用，通过多面体情境构建"作证求"完整逻辑链，覆盖正逆向题型，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求线面角|3例+3变式|多面体中证明线面平行后求线面角三角函数值|以线面垂直判定为基础，通过作（找）垂线构建线面角，体现"作证求"步骤逻辑| |已知线面角求其他量|3例+3变式|给定线面角大小求二面角、体积最值或线段长度|逆向运用线面角定义，结合体积公式、二面角构造，实现知识迁移与综合应用|

暑假培优：几何法求线面角、已知线面角求其他量专项训练 暑假培优：几何法求线面角、已知线面角求其他量专项训练 考点目录 几何法求线面角 已知线面角求其他量 考点一 几何法求线面角 例1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)如图，    连接，交于点，连接． 因为底面是正方形，所以是的中点． 又点为的中点，所以． 因为平面，且平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）作出直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求线面角的正切值. 【详解】（1）略 （2）设底面正方形的边长为． 因为平面，平面， 所以为直角三角形． 又，所以． 因为底面为正方形，因此． 由于，且平面，所以平面． 又平面，因此平面平面，且交线为． 过点作，交于点，则平面， 又平面，则， 连接，则即为直线与平面所成的角． 易知， ，. 在中，， 所以． 例2．（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． ，，则，， 在中，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 例3．（25-26高一下·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，底面，． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，由已知可证平面，利用等面积法求得，进而可得到平面的距离； （2）过作于，连接，由题意可得为直线与平面所成的角，进而计算可求解. 【详解】（1）过作于，因为底面，底面， 所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，则的长即到平面的距离. 又，所以，由勾股定理得， 由，可得，所以， 所以到平面的距离为； （2）过作于，连接， 因为底面，平面，所以平面底面， 因为平面底面，平面， 所以平面，所以即直线与平面所成的角， 因为，所以，又， 由，得，解得， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明：直线和直线相交，故A，B，F，E四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故． (2)（i）证明：，，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面． （ⅱ） 【分析】（1）证明线线平行可转化为线面平行，根据线面平行的性质进行证明，过一个平面的平行线的平面与这个平面的交线与这条直线平行，由此进行证明即可； （2）（i）根据题干中所给的线面垂直和线段长度，可利用线面垂直的性质以及勾股定理找到两条相交直线与垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可； （ⅱ）先证明平面，可得是直线与平面所成的角，进而可得结论. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ⅱ）因为，E为的中点， 故F为的中点，且，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以，， 所以，即， 故直线与平面所成的角为． 变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)由题意知，，， 又，、平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，所以， 而，、平面， 所以平面； (2)． 【分析】（1）借助线面垂直的判定定理及性质定理推导即可得； （2）过点E作于点F，结合线面垂直的判定定理及性质定理可得就是直线与平面所成角，再求出各边长后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，平面，又， 所以平面，又因为平面， 所以，而，、平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则， 因为E是的中点，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 过点E作于点F，因为平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面，所以就是直线与平面所成角， 又因为，，， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为．    变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，设三棱锥的外接球球心为. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求证：，，，四点共面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)设的外接圆圆心为，则在线段的中垂线上，连接，，，， 由正弦定理知，， 所以， 由（1）知，，，所以， 即，所以与重合， 所以，，，四点共面； (3) 【分析】（1）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的余弦. （2）先求的外接圆半径，初步确定的外接圆圆心的位置，再求的距离，即可证明就是三棱锥外接球球心，所以，，，四点共面. （3）利用体积法求点到面的距离，进而可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以由余弦定理得，， 所以， 取中点为，连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 过点作，交线段的延长线于点，连接， 因为平面，平面，所以， 平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角. 又因为，，， 所以，，所以， 所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. （2）略 （3）设到平面的距离为， 因为，即 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．    (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)不存在，理由如下： 如图１，连接，因为点在平面内的射影落在线段上，所以平面， 因为平面，所以， 若存在点，使得平面，因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以，这与已知条件中矛盾，所以不存在点，使得平面． (2)； (3). 【分析】（1）采用反证法，假设存在满足条件的点M，由线面垂直的性质推出矛盾，因此不存在； （2）先通过作平行线将线面角转化为已知角，利用面积比和等体积法建立方程求出，再构造二面角的平面角，在直角三角形中计算正弦值，得到二面角； （3）用等体积法将三棱锥体积表示为的函数，通过换元转化为分式函数，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）略. （2）作，作平面，连接，， 所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，也即， 设，所以， 因为，，， 所以四边形是矩形，所以，， 因为，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， ，， 所以，因为，所以， 所以， 连接，所以， 在中，， 所以，解得， 如图3，作，连接， 因为平面，所以，， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，所以， 所以，即，解得， 所以，所以， 所以二面角的平面角为.      （3）， 如图2，设，由（2）得，，， 在中，， 所以，解得， 所以 ， 所以 化简得 令，因为，所以或， 因为是线段上的动点（端点除外），所以， 所以，所以， 所以所以 令，则，其中，且，所以，即， 所以 因为所以 当且仅当，即等号成立，此时，即， 因此 例2．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 例3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1) 因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； (2) (3) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定即可证明； （2）过点作，垂足为，由线面垂直的性质及判定得出为四棱锥的高，再根据四棱锥体积公式即可求解； （3）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 变式1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用菱形性质得，结合及等腰三角形三线合一得，再依据线面垂直判定定理，即可证得结果. （2）（i）取中点，设，可证得平面，则即为直线与平面所成的角，根据已知计算即可得出的长； （ii）由（i）可知为二面角的平面角，作于，可得为二面角的平面角，设二面角的大小为，则计算即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点． 因为，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，所以平面． （2）（i）取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以平面， 所以，所以， 设，连接，则平面，且即为直线与平面所成的角. 所以，所以， 因为，所以，，， 所以，所以，所以． （ii）由（i）可知为二面角的平面角， 且， 连接，因为，所以，所以平面， 作于，连接，则为二面角的平面角， 且， 所以，所以， 设二面角的大小为，则． 变式2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 【答案】(1)证明：连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. (2) (3)或 【分析】（1）连接，利用面面垂直的性质定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理得，结合已知利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的判定及性质定理证明即可； （2）取CD中点为N，连，，利用面面平行的判定定理证明平面∥平面，再利用面面平行的性质定理得∥，可得M为PD中点，即可求解； （3）设，利用等面积法求得点D到面的距离为，根据线面角的正弦值列式求得或，代入四棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； （3）由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 变式3．（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用线面垂直的判定得出平面，进而可证结论； （2）利用等体积法求出点C到平面的距离，再利用线面平行的性质可得答案； （3）根据距离求出，结合余弦定理可得的长度. 【详解】（1）连接，设的交点为，连接； 因为，，所以与全等，所以， 因为底面为菱形，所以，且为的中点，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，且, 所以，. 因为，且为的中点，所以. 因为，所以,所以，. 由（1）知，因为，平面，所以平面; 设点C到平面的距离为， 因为，所以,解得. 因为平面，所以点到平面的距离为. （3）因为直线与平面所成角的正弦值为，所以,即. 过E作平面,垂足为F,连接，则点在的延长线上, ,从而, 设,则； 因为四边形为菱形,且,所以,所以, 由余弦定理可得, 则,解得,故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：几何法求线面角、已知线面角求其他量专项训练 暑假培优：几何法求线面角、已知线面角求其他量专项训练 考点目录 几何法求线面角 已知线面角求其他量 考点一 几何法求线面角 例1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 例2．（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（25-26高一下·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，底面，． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，设三棱锥的外接球球心为. (1)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (2)求证：，，，四点共面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．    (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 例2．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 例3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 变式1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 变式2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 变式3．（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $