暑假预习：一元二次方程的实际应用6种高频考点复习讲义-2026年八升九暑假数学（人教版）

暑假预习：一元二次方程的实际应用6种高频考点复习讲义 暑假预习：一元二次方程的实际应用6种高频考点复习讲义 考点目录 传播问题 增长率问题 营销问题 面积问题 握手、循环赛问题 动态几何问题 考点一 传播问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：一人患病/携带病毒，每轮每人传染 人，病毒不断扩散； 1. 两轮传播标准公式： 初始 1 人，第一轮后共 人；第二轮每人再传 人，总人数 1. 多轮通用： 轮传播总人数： 1. 区分：树枝分裂、细胞分裂同此模型；有隔离、不重复传染适用。 二、解题原理 1. 分清初始基数、每轮传染人数、传播轮数； 1. 每一轮所有人都参与下一轮传播，整体乘 ； 1. 列方程求解，舍去负数解（人数不能为负）。 【例题分析】 例1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 例2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【变式训练】 变式1．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意易得方程，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得： ， 解得：，（不符题意，舍去）； 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 变式2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 考点二 增长率问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 平均增长率公式： 基数 ，增长率 ，增长 次后总量 1. 平均降低率： 1. 常见场景：产量、销量、存款利息、物价、产值。 二、解题原理 1. 找准初始基数 、增长次数、最终量； 1. 涨价加 ，降价减 ； 1. 解方程后舍去负根、超过 1 的不合理降低率。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 例2．（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 变式2．（2026·湖南长沙·模拟预测）7月1日，是中国共产党建党纪念日．在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 【答案】(1)20% (2)依题意：． ∵， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 【分析】（1）设这两个小时参观人数的平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）． 答：平均增长率为． （2）略 考点三 营销问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础关系式： 单件利润 = 售价 − 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 1. 调价规律：涨价销量减少，降价销量增多；设涨价/降价 元，同步表示出新单价、新销量。 1. 等量关系：总利润 = 目标利润，列一元二次方程。 二、解题原理 1. 设价格变动量 ； 1. 分别用 表示：单件利润、实际销量； 1. 代入“总利润=单件利润×销量”列方程； 1. 结合题意取舍解（如薄利多销选低价、定价上限下限）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． (1)某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ (2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 【答案】(1)该农户原计划每小时采摘花椒斤 (2)花椒售价应每斤涨价元 【分析】（1）设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤，根据题意列分式方程求解即可； （2）设花椒售价应每斤涨价y元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：该农户原计划每小时采摘花椒20斤； （2）解：设花椒售价应每斤涨价y元， 根据题意，得 解得，， ∵要让销量更高， ∴， 答：花椒售价应每斤涨价5元． 例2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 例3．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 变式2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】(1)， (2)元 (3)，， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 考点四 面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础图形面积公式：矩形、正方形、道路边框、花圃； 1. 平移法模型：中间道路、四周边框，平移后空白区域为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； 1. 割补模型：大图形减小路/阴影面积等于种植面积。 二、解题原理 1. 设道路宽/边框宽为 ； 1. 平移拼接，用含 代数式表示有效区域长和宽； 1. 长×宽=指定面积，列方程； 1. 解必须小于原图长、宽，舍去超出范围的根。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2)右边宽为厘米 【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为； （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米． 例1．（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】(1)①② (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【详解】（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】（1）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 考点五 握手、循环赛问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 无重复（握手、单循环比赛）：每两人只发生一次互动 总次数： 1. 有重复（互送照片、互发短信）：两人互相赠送，不分先后 总次数： 代表总人数/队伍数。 二、解题原理 1. 判断是否双向重复： 握手、单循环赛→除以 2；互赠礼物、发消息→不除以 2； 1. 根据总次数列方程，舍去 0、负数解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【答案】共有30支队伍参赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 考点六 动态几何问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 动点在矩形、直角三角形边上匀速运动，设运动时间 ； 1. 路程=速度×时间，用 表示线段长度； 1. 常结合：直角三角形面积、勾股定理、图形面积定值列等式。 二、解题原理 1. 设运动时间 ，写出动点走过的线段长； 1. 结合图形边长，用含 式子表示目标直角边/底和高； 1. 根据面积、线段长度等量关系列一元二次方程； 1. 检验解范围：动点不能超出线段， 需满足运动边界。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 例2．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 例3．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，中，，，8，点从点出发，以每秒的速度沿运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿运动，当到达点时，点同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)运动几秒时中？ 【答案】(1)运动秒后，的面积等于 (2)运动或秒时中 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设运动秒后的面积等于，根据题意可直接列出方程进行求解； （2）由三角形面积可直接列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒后的面积等于， 根据题意得：，，    则的面积是： 解得， ∵当时， ∴不符合题意，舍去 所以运动秒后，的面积等于； （2）解：根据题意可得：， 解得 所以运动或秒时中． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 变式2．（25-26九年级上·广西北海·阶段检测）如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据点P，Q的运动时间和运动速度可得，的长度，再结合的长度即可求得； （2）根据三角形的面积公式得到，，根据列出方程，求解即可解答． ∵， ∴ 【详解】（1）解：∵点，的速度分别为，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：， （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，四边形的面积等于． 变式3．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一元二次方程的实际应用6种高频考点复习讲义 暑假预习：一元二次方程的实际应用6种高频考点复习讲义 考点目录 传播问题 增长率问题 营销问题 面积问题 握手、循环赛问题 动态几何问题 考点一 传播问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：一人患病/携带病毒，每轮每人传染 人，病毒不断扩散； 1. 两轮传播标准公式： 初始 1 人，第一轮后共 人；第二轮每人再传 人，总人数 1. 多轮通用： 轮传播总人数： 1. 区分：树枝分裂、细胞分裂同此模型；有隔离、不重复传染适用。 二、解题原理 1. 分清初始基数、每轮传染人数、传播轮数； 1. 每一轮所有人都参与下一轮传播，整体乘 ； 1. 列方程求解，舍去负数解（人数不能为负）。 【例题分析】 例1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 例2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【变式训练】 变式1．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 变式2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 考点二 增长率问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 平均增长率公式： 基数 ，增长率 ，增长 次后总量 1. 平均降低率： 1. 常见场景：产量、销量、存款利息、物价、产值。 二、解题原理 1. 找准初始基数 、增长次数、最终量； 1. 涨价加 ，降价减 ； 1. 解方程后舍去负根、超过 1 的不合理降低率。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 例2．（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 变式2．（2026·湖南长沙·模拟预测）7月1日，是中国共产党建党纪念日．在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 考点三 营销问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础关系式： 单件利润 = 售价 − 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 1. 调价规律：涨价销量减少，降价销量增多；设涨价/降价 元，同步表示出新单价、新销量。 1. 等量关系：总利润 = 目标利润，列一元二次方程。 二、解题原理 1. 设价格变动量 ； 1. 分别用 表示：单件利润、实际销量； 1. 代入“总利润=单件利润×销量”列方程； 1. 结合题意取舍解（如薄利多销选低价、定价上限下限）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． (1)某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ (2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 例2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 例3．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 变式2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 考点四 面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础图形面积公式：矩形、正方形、道路边框、花圃； 1. 平移法模型：中间道路、四周边框，平移后空白区域为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； 1. 割补模型：大图形减小路/阴影面积等于种植面积。 二、解题原理 1. 设道路宽/边框宽为 ； 1. 平移拼接，用含 代数式表示有效区域长和宽； 1. 长×宽=指定面积，列方程； 1. 解必须小于原图长、宽，舍去超出范围的根。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 例1．（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 考点五 握手、循环赛问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 无重复（握手、单循环比赛）：每两人只发生一次互动 总次数： 1. 有重复（互送照片、互发短信）：两人互相赠送，不分先后 总次数： 代表总人数/队伍数。 二、解题原理 1. 判断是否双向重复： 握手、单循环赛→除以 2；互赠礼物、发消息→不除以 2； 1. 根据总次数列方程，舍去 0、负数解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 考点六 动态几何问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 动点在矩形、直角三角形边上匀速运动，设运动时间 ； 1. 路程=速度×时间，用 表示线段长度； 1. 常结合：直角三角形面积、勾股定理、图形面积定值列等式。 二、解题原理 1. 设运动时间 ，写出动点走过的线段长； 1. 结合图形边长，用含 式子表示目标直角边/底和高； 1. 根据面积、线段长度等量关系列一元二次方程； 1. 检验解范围：动点不能超出线段， 需满足运动边界。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 例2．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，中，，，8，点从点出发，以每秒的速度沿运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿运动，当到达点时，点同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)运动几秒时中？ 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 变式2．（25-26九年级上·广西北海·阶段检测）如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $