专题25.3 实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义）2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题25.3 实际问题与一元二次方程 【本节预习目标】 1.掌握列一元二次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步流程，能规范书写解题过程。 2.掌握传播、增长率、销售利润、几何面积、循环计数等常见问题的数量关系，能准确提取等量关系并列方程。 3.能根据实际问题的意义检验方程的解，舍去不符合题意的根，培养严谨的数学应用意识。 4.经历将实际问题抽象为一元二次方程模型的过程，提升数学建模素养与解决实际问题的能力。 5.能结合劳动实践、传统文化、生活情境等背景分析问题，体会一元二次方程的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知（一元一次方程应用） 本节新知关联（一元二次方程应用） 解题步骤 审、设、列、解、验、答六步解题法 沿用六步流程，新增“检验解的实际意义”环节，方程次数为二次 核心数量关系 路程=速度×时间；工作总量=效率×时间；利润=售价-进价 在旧知基础上，新增增长/下降率、面积平移、双向传播等数量结构，方程含二次项 几何应用 利用长度、面积公式列一次方程 涉及图形平移、围栏围建、动点运动等，面积关系产生二次项 解的检验 仅检验解是否满足等式 既要检验等式成立，还要检验是否符合实际意义（长度、人数、时间为正等） 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.核心流程：审→设→列→解→验→答 ①审：审题，明确已知量、未知量，梳理题目中的数量关系； ②设：设未知数，可直接设所求量为未知数，也可间接设中间量为未知数； ③列：根据等量关系列出代数式，进而列出一元二次方程； ④解：选择合适的方法解一元二次方程； ⑤验：双重检验，先检验解是否为方程的根，再检验根是否符合实际问题的意义； ⑥答：根据问题写出完整答案，注明单位。 2.核心思想：数学建模思想，将实际问题转化为一元二次方程的数学问题，通过解方程解决实际问题。 知识点2：常见实际问题的核心数量关系 1.传播与增长率问题 （1）传播问题：起始传染源数为，每轮每个传染源传染个，两轮传染后总患病人数为； （2）平均增长率：起始量为，平均增长率为，两次增长后终止量为，则； （3）平均降低率：起始量为，平均降低率为，两次降低后终止量为，则。 2.销售利润问题 单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售总量； 价格变化与销量变化负相关：单价每降（涨）元，销量对应增加（减少）件。 3.几何面积问题 利用矩形、正方形、三角形等面积公式，通过平移法将分散图形整合为规则图形，简化面积表达式；围栏围建问题需注意墙长限制。 4.循环与数字问题 （1）单循环（握手、球赛）：总场次为；双循环（互赠、主客场）：总场次为； （2）两位数表示：十位数字为，个位数字为，则两位数为。 【基础巩固题型】 【题型1】传播与植物分支问题 1.核心知识点 传播问题的数量关系；整体增长模型；解的实际意义检验。 2.解题方法技巧 ①明确起始传染源数量和每轮传播规则，将每轮总患病人数表示为上一轮的倍； ②植物分支类问题，主干+支干+小分支总数对应总数，区分“传播”与“分支”的表述差异； ③解出结果后，舍去负数解，传播人数、分支数量必须为正整数。 【例题1】.（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式题1-2】.（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【题型2】平均增长率与降低率问题 1.核心知识点 增长率公式；降低率公式；百分率的实际意义。 2.解题方法技巧 ①准确识别起始量、终止量和增长/降低次数，直接套用公式列方程； ②连续两次增长/降低才能用平方模型，单次增长为一次方程，注意区分； ③结果化为百分数，增长率取正值，降低率在0到1之间，舍去不符合的负根。 【例题2】.（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别表示出三个月的销售额，再根据第一季度总销售额为798万元列出等式即可． 【详解】解：∵1月份销售额为200万元，2、3月份每月销售额的平均增长率为， ∴2月份销售额为万元，3月份销售额为万元， 由题意得：． 【变式题2-2】.（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【答案】 【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值，舍去）， ∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为． 【变式题2-3】.（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)11月份的销售量是万件. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题，解题的关键是根据8月份和10月份的销售量建立方程求增长率； （1）中设月平均增长率为，月份到10月份经过2个月，由列方程求解； （2）中利用（1）求出的增长率，计算11月份销售量． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得， （舍去） 答：月平均增长率为； （2）解：（万件）， 答：11月份的销售量是8.64万件． 【题型3】数字与月历数阵问题 1.核心知识点 多位数的表示方法；月历数阵的数字规律；一元二次方程求解。 2.解题方法技巧 ①两位数/三位数设某一位为未知数，用数位关系表示出整个数； ②月历问题中，同行相邻数差1，同列相邻数差7，用含未知数的式子表示框内各数； ③解出结果后检验是否符合数位要求（数字为0-9的整数，十位不为0）。 【例题3】.（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为25或52 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数的十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数的十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 【答案】8 【分析】本题考查了用一元一次方程在日历中的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键；设最小数为x，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为x，则最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 从月历表中可以看出，8是第二行第2个数，符合要求， ∴最小数为8． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【题型4】单循环与双循环计数问题 1.核心知识点 单循环、双循环的计数公式；握手、赠礼、比赛等场景的模型区分。 2.解题方法技巧 ①两两仅一次（握手、单循环球赛）：总次数=，列方程时不要漏乘； ②两两双向（互赠贺卡、双循环联赛）：总次数=，无需除以2； ③解出结果后舍去负根，人数、队伍数必须为正整数。 【例题4】.（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 【变式题4-1】.（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【题型5】矩形甬道面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；平移法转化图形；道路宽度的实际意义检验。 2.解题方法技巧 ①横向、纵向甬道问题，通过平移将种植区域、草坪区域整合为一个新的矩形； ②设甬道宽为，表示出新矩形的长和宽，根据面积列方程； ③解出结果后检验，道路宽度不能超过原矩形的长和宽，舍去过大的解。 【例题5】.（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【变式题5-1】.（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，围成的菜地面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； （2）解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 【变式题5-2】.（24-25九年级上·河南平顶山·阶段检测）为加快推动城市生态建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为，宽为，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，数形结合得到草坪的长为、宽为，由草坪的面积为，利用矩形面积公式即可列出方程，数形结合，准确表示出草坪的长与宽是解决问题的关键． 【详解】解：设矩形地块四周道路的宽度为，则草坪的长为、宽为， 草坪的面积为， ， 故选：C． 【变式题5-3】.（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【题型6】销售利润问题 1.核心知识点 单件利润、总利润的数量关系；价格与销量的反向变化关系。 2.解题方法技巧 ①设涨价/降价的金额为，用含的式子表示单件利润和对应销量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程； ③若题干有“让顾客得实惠”“尽量减少库存”等要求，选择对应符合条件的解。 【例题6】.（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 【变式题6-1】.（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)该品种葡萄每千克售价应上涨6元 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年种植面积的关系列方程求解即可； （2）设每千克售价上涨y元，先求出y的取值范围，再根据总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， ∵某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到， ∴， 解得：（负值舍去）； （2）解：设每千克售价上涨y元，则每千克利润为元，每周销售量为， ∵该品种葡萄售价不能超过每千克15元，售价应上涨， ∴， 解得， ∵每周销售该品种葡萄的利润为2240元， ∴， 解得：（舍去）， ∴该品种葡萄每千克售价应上涨6元． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值 (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． （3）略 【培优提升题型】 【题型7】靠墙围栏面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；墙长限制条件；门的宽度对篱笆总长的影响。 2.解题方法技巧 ①设垂直于墙的边长为，表示出平行于墙的边长，注意门的宽度要加回总长； ②根据面积列方程，解出两个根后，必须验证平行于墙的边长是否小于等于墙的长度； ③带隔断的围栏问题，数清垂直于墙的边的数量，准确表示篱笆总长。 【例题7】.（25-26九年级上·福建龙岩·期中）学校社团准备搭建一个矩形“共享阅读角”，阅读角的一边利用长为的教学楼墙面，另外三边用长的围栏材料围成． (1)若矩形阅读角的面积为，求边的长； (2)当边为多少时，矩形阅读角的面积最大，最大面积是多少? 【答案】(1)的边长为12米 (2)取到最大值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最大值， 对于（1），设的边长为x米，依题意列出方程，求出解，再根据取值范围得出答案； 对于（2），先表示出矩形的面积的二次函数，再根据取值范围讨论最大值． 【详解】（1）解：设的边长为x米，依题意，得： ，      整理得：， 解得：．    ∵， ∴．    所以的边长为12x米； （2）解：矩形阅读角的面积为，依题意， 得：，       ∵， ∴当时，．        所以当米时，取到最大值为． 【变式题7-1】.（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】(1)答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． (2)答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． (3)不可行，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米． 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式． 任务2 探究自变量的取值范围． 任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米． 【答案】任务1、； 任务2、当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：； 任务3、我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为． 【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键． 任务1、根据题意得出，然后计算面积即可得出函数关系式； 任务2、根据题意得出，代入确定，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可； 任务3、根据任务1中函数关系式及其性质求解即可； 【详解】解：任务1、由题可知，设，则， 则 ； 任务2、由题意知， 即， 解得：， 根据题意可得：新墙建筑费用为元， 若选型号①门，则总费用为元， ∵总费用不高于6400元， ∴， 解得：， 若选型号③门，则总费用为元， ∵总费用不高于6400元， ∴，解得：， 综上所述：当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：； 任务3、由任务1知：， ∵，图象开口向下，且， ∴当时，面积S有最大值为， 此时， ∴我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为． 【题型8】工程与生产效率问题 1.核心知识点 工作总量=工作效率×工作时间；效率提升与时间减少的数量关系。 2.解题方法技巧 ①先根据基础数量关系求出原工作效率，再表示出效率提升后的效率和对应时间； ②根据总工作量或时间差列一元二次方程； ③结果需符合实际生产逻辑，效率提升为正，时间减少为正。 【例题8】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 【变式题8-1】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·期末）某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】(1)B生产线至少生产护目镜7小时 (2)该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量的关系，正确列出一元一次不等式；列出一元二次方程． （1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7． 答：生产线至少生产护目镜7小时； （2）解：设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时． 【变式题8-3】.（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模） 综合与实践 数学与交通 情境材料 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车距离反应距离制动距离． 实验数据 ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离与行驶速度关系如下： 40 50 60 70 80 反应距离 8 10 16 ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离与行驶速度的关系为∶ 交通规则 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯； 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米． 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 【答案】(1)， (2)至少需要米，米的安全距离足够 (3)车速不超过时，可避免事故；安全驾驶建议：在高速公路行驶时，若前方有故障或警示标志，应提前减速，车速不超过，并与前车保持足够安全距离，避免急刹追尾 【分析】（1）由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系，利用待定系数法求解即可；再根据停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系求解即可； （2）将代入即可求得至少需与故障车辆保持的距离；再与150米比较即可判断安全距离是否足够； （3）令，则，即可求得不得超过的速度；再根据安全需要提建议即可． 【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系． 设，将代入得∶，解得， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为， ∵停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系为：， ∴停车距离与行驶速度的函数关系式． （2）解：当时， ； 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150米以外． ∵1， ∴150米的安全距离足够． 答：至少需与故障车辆保持110.4米的距离才能安全停车；150米的安全距离足够． （3）解：根据题意，令，得∶ ， 整理得∶ ，解得：或(不合题意，舍去)． 所以车速不超过． 建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安全． 【压轴素养题型】 【题型9】动态几何面积问题 1.核心知识点 动点运动的路程表示；三角形、矩形面积公式；勾股定理的应用。 2.解题方法技巧 ①设运动时间为，用含的式子表示运动后各线段的长度； ②根据面积关系或距离关系列方程，注意动点的运动范围，不可超出线段端点； ③两点距离问题，作垂线构造直角三角形，用勾股定理列方程，注意两点位置的分类讨论。 【例题9】.（25-26九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】(1)； (2)20． 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：， 的最大值为； （2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 【变式题9-2】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 【题型10】规律探究与点阵问题 1.核心知识点 图形规律归纳；数列求和公式；一元二次方程求解与整数检验。 2.解题方法技巧 ①观察图形变化，找出第个图形的数量表达式，推导总数量的公式； ②根据总数目标列一元二次方程，求解的值； ③检验是否为正整数，不是正整数则不存在对应图形。 【例题10】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【答案】(1)34 (2)的值为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，由图的序号与图形中的石子数量得到第5个图形有个石子，由此即可求解； （2）结合（1）中的数量关系得到第个图形有（个）石子，由此列式求解即可； （3）结合（2）中的数量关系方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形有6个石子，， 第2个图形有10个石子，， 第3个图形有16个石子，， 第4个图形有24个石子，， ∴第5个图形有个石子， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，第个图形有（个）石子， ∴，整理得，， 因式分解得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：不存在，理由如下， 根据题意得到，整理得，， ∵， ∴， ∵是无理数， ∴不存在某个图形有216个石子． 【变式题10-1】.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·广东广州·期中）数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）能，；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在数字规律题中的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）令，即可求解； （2）根据即可求解； （3）令，即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：（舍）， ∴； （2）前n行的点数总和为： （3）令， 解得：（负值舍去）， ∵为正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是． 【变式题10-3】.（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】(1)29，21 (2)， (3)66米 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【详解】（1）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． （2）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． （3）解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 易错点 1、列方程时混淆单循环与双循环模型，单循环忘记除以2，双循环多除以2，导致结果错误。 2、增长率问题中，混淆“增长两次”和“共三个阶段”的时间节点，错误套用平方公式；误将降低率的方程写成。 3、几何面积问题中，平移甬道时错误计算长和宽，多减或漏减道路宽度；靠墙围栏问题忽略墙长限制，未舍去超出墙长的解。 4、销售利润问题中，价格与销量的变化关系搞反，涨价写成销量增加，降价写成销量减少；计算总利润时误用总售价代替单件利润。 5、解完方程后忘记检验实际意义，直接将两个根都作为答案，出现人数为负、长度为负、时间超出范围等错误。 6、间接设未知数时，最后答案未转换为题目所求的量，答非所问。 重点 1、列一元二次方程解应用题的六步解题流程，特别是“验”的双重检验要求。 2、传播、增长率、销售利润、几何面积、循环计数五大类核心题型的等量关系与列方程方法。 3、数学建模思想，将实际情境抽象为一元二次方程模型的转化方法。 4、结合实际意义对方程的解进行取舍，培养数学应用的严谨性。 难点 1、复杂几何面积问题的图形转化（多隔断、带门、靠墙多矩形组合），准确表示边长与面积。 2、动态几何与动点问题，用含时间的式子表示线段，结合勾股定理、面积公式列方程。 3、跨学科、大情境类问题的信息提取，将非数学背景的描述转化为数学等量关系。 4、方案可行性判断与多解取舍问题，结合判别式、实际限制条件进行综合分析。 一、单选题 1．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 2．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 3．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据逐月增长的关系，从三月份到五月份经过两次匀速增长，结合初始销量和五月份最终销量列方程即可． 【详解】解∵三月份销量为杯，每月平均增长率为x， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 二、填空题 4．某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 5．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 6．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 三、解答题 7．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形新阵法，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)“混天绫”的总长度 (2)能够完成新阵法，理由见解析 【分析】（1）先根据正方形面积求出边长，再用正方形周长公式求混天绫总长度； （2）根据长与宽的比例设未知数，结合长方形面积求出长、宽，再计算长方形周长，与混天绫总长度比较即可判断． 【详解】（1）解：“混天绫”围成一个面积为的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为米，      ， 能够完成新阵法． 8．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 9．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 10．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 【答案】(1)A杆的长度为，B杆的长度为 (2) (3) 【分析】（1）设A杆的长度为，B杆的长度为，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A杆的长度为，B杆的长度为， 根据题意，得， 解得， 答：A杆的长度为，B杆的长度为． （2）解：根据题意，横杆距地面， ∴投影布下边缘距地面： 根据题意，得， 解得， 又，， ∴． （3）解：根据题意，得 整理，得 解得或（舍去）． 即缩放比例因子． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 实际问题与一元二次方程 【本节预习目标】 1.掌握列一元二次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步流程，能规范书写解题过程。 2.掌握传播、增长率、销售利润、几何面积、循环计数等常见问题的数量关系，能准确提取等量关系并列方程。 3.能根据实际问题的意义检验方程的解，舍去不符合题意的根，培养严谨的数学应用意识。 4.经历将实际问题抽象为一元二次方程模型的过程，提升数学建模素养与解决实际问题的能力。 5.能结合劳动实践、传统文化、生活情境等背景分析问题，体会一元二次方程的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知（一元一次方程应用） 本节新知关联（一元二次方程应用） 解题步骤 审、设、列、解、验、答六步解题法 沿用六步流程，新增“检验解的实际意义”环节，方程次数为二次 核心数量关系 路程=速度×时间；工作总量=效率×时间；利润=售价-进价 在旧知基础上，新增增长/下降率、面积平移、双向传播等数量结构，方程含二次项 几何应用 利用长度、面积公式列一次方程 涉及图形平移、围栏围建、动点运动等，面积关系产生二次项 解的检验 仅检验解是否满足等式 既要检验等式成立，还要检验是否符合实际意义（长度、人数、时间为正等） 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.核心流程：审→设→列→解→验→答 ①审：审题，明确已知量、未知量，梳理题目中的数量关系； ②设：设未知数，可直接设所求量为未知数，也可间接设中间量为未知数； ③列：根据等量关系列出代数式，进而列出一元二次方程； ④解：选择合适的方法解一元二次方程； ⑤验：双重检验，先检验解是否为方程的根，再检验根是否符合实际问题的意义； ⑥答：根据问题写出完整答案，注明单位。 2.核心思想：数学建模思想，将实际问题转化为一元二次方程的数学问题，通过解方程解决实际问题。 知识点2：常见实际问题的核心数量关系 1.传播与增长率问题 （1）传播问题：起始传染源数为，每轮每个传染源传染个，两轮传染后总患病人数为； （2）平均增长率：起始量为，平均增长率为，两次增长后终止量为，则； （3）平均降低率：起始量为，平均降低率为，两次降低后终止量为，则。 2.销售利润问题 单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售总量； 价格变化与销量变化负相关：单价每降（涨）元，销量对应增加（减少）件。 3.几何面积问题 利用矩形、正方形、三角形等面积公式，通过平移法将分散图形整合为规则图形，简化面积表达式；围栏围建问题需注意墙长限制。 4.循环与数字问题 （1）单循环（握手、球赛）：总场次为；双循环（互赠、主客场）：总场次为； （2）两位数表示：十位数字为，个位数字为，则两位数为。 【基础巩固题型】 【题型1】传播与植物分支问题 1.核心知识点 传播问题的数量关系；整体增长模型；解的实际意义检验。 2.解题方法技巧 ①明确起始传染源数量和每轮传播规则，将每轮总患病人数表示为上一轮的倍； ②植物分支类问题，主干+支干+小分支总数对应总数，区分“传播”与“分支”的表述差异； ③解出结果后，舍去负数解，传播人数、分支数量必须为正整数。 【例题1】.（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【变式题1-1】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【变式题1-2】.（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【题型2】平均增长率与降低率问题 1.核心知识点 增长率公式；降低率公式；百分率的实际意义。 2.解题方法技巧 ①准确识别起始量、终止量和增长/降低次数，直接套用公式列方程； ②连续两次增长/降低才能用平方模型，单次增长为一次方程，注意区分； ③结果化为百分数，增长率取正值，降低率在0到1之间，舍去不符合的负根。 【例题2】.（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【变式题2-3】.（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【题型3】数字与月历数阵问题 1.核心知识点 多位数的表示方法；月历数阵的数字规律；一元二次方程求解。 2.解题方法技巧 ①两位数/三位数设某一位为未知数，用数位关系表示出整个数； ②月历问题中，同行相邻数差1，同列相邻数差7，用含未知数的式子表示框内各数； ③解出结果后检验是否符合数位要求（数字为0-9的整数，十位不为0）。 【例题3】.（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【题型4】单循环与双循环计数问题 1.核心知识点 单循环、双循环的计数公式；握手、赠礼、比赛等场景的模型区分。 2.解题方法技巧 ①两两仅一次（握手、单循环球赛）：总次数=，列方程时不要漏乘； ②两两双向（互赠贺卡、双循环联赛）：总次数=，无需除以2； ③解出结果后舍去负根，人数、队伍数必须为正整数。 【例题4】.（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【题型5】矩形甬道面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；平移法转化图形；道路宽度的实际意义检验。 2.解题方法技巧 ①横向、纵向甬道问题，通过平移将种植区域、草坪区域整合为一个新的矩形； ②设甬道宽为，表示出新矩形的长和宽，根据面积列方程； ③解出结果后检验，道路宽度不能超过原矩形的长和宽，舍去过大的解。 【例题5】.（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【变式题5-2】.（24-25九年级上·河南平顶山·阶段检测）为加快推动城市生态建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为，宽为，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【题型6】销售利润问题 1.核心知识点 单件利润、总利润的数量关系；价格与销量的反向变化关系。 2.解题方法技巧 ①设涨价/降价的金额为，用含的式子表示单件利润和对应销量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程； ③若题干有“让顾客得实惠”“尽量减少库存”等要求，选择对应符合条件的解。 【例题6】.（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【变式题6-1】.（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 (1)求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 (2)某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【培优提升题型】 【题型7】靠墙围栏面积问题 1.核心知识点 矩形面积公式；墙长限制条件；门的宽度对篱笆总长的影响。 2.解题方法技巧 ①设垂直于墙的边长为，表示出平行于墙的边长，注意门的宽度要加回总长； ②根据面积列方程，解出两个根后，必须验证平行于墙的边长是否小于等于墙的长度； ③带隔断的围栏问题，数清垂直于墙的边的数量，准确表示篱笆总长。 【例题7】.（25-26九年级上·福建龙岩·期中）学校社团准备搭建一个矩形“共享阅读角”，阅读角的一边利用长为的教学楼墙面，另外三边用长的围栏材料围成． (1)若矩形阅读角的面积为，求边的长； (2)当边为多少时，矩形阅读角的面积最大，最大面积是多少? 【变式题7-1】.（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米． 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式． 任务2 探究自变量的取值范围． 任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米． 【题型8】工程与生产效率问题 1.核心知识点 工作总量=工作效率×工作时间；效率提升与时间减少的数量关系。 2.解题方法技巧 ①先根据基础数量关系求出原工作效率，再表示出效率提升后的效率和对应时间； ②根据总工作量或时间差列一元二次方程； ③结果需符合实际生产逻辑，效率提升为正，时间减少为正。 【例题8】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·期末）某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【变式题8-3】.（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模） 综合与实践 数学与交通 情境材料 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车距离反应距离制动距离． 实验数据 ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离与行驶速度关系如下： 40 50 60 70 80 反应距离 8 10 16 ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离与行驶速度的关系为∶ 交通规则 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯； 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米． 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 【压轴素养题型】 【题型9】动态几何面积问题 1.核心知识点 动点运动的路程表示；三角形、矩形面积公式；勾股定理的应用。 2.解题方法技巧 ①设运动时间为，用含的式子表示运动后各线段的长度； ②根据面积关系或距离关系列方程，注意动点的运动范围，不可超出线段端点； ③两点距离问题，作垂线构造直角三角形，用勾股定理列方程，注意两点位置的分类讨论。 【例题9】.（25-26九年级上·青海海东·期末）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【变式题9-2】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【变式题9-3】.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【题型10】规律探究与点阵问题 1.核心知识点 图形规律归纳；数列求和公式；一元二次方程求解与整数检验。 2.解题方法技巧 ①观察图形变化，找出第个图形的数量表达式，推导总数量的公式； ②根据总数目标列一元二次方程，求解的值； ③检验是否为正整数，不是正整数则不存在对应图形。 【例题10】.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． (1)第五个图形有___________个石子． (2)若第个图形有160个石子，求的值． (3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【变式题10-1】.（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【变式题10-2】.（25-26九年级上·广东广州·期中）数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【变式题10-3】.（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 易错点 1、列方程时混淆单循环与双循环模型，单循环忘记除以2，双循环多除以2，导致结果错误。 2、增长率问题中，混淆“增长两次”和“共三个阶段”的时间节点，错误套用平方公式；误将降低率的方程写成。 3、几何面积问题中，平移甬道时错误计算长和宽，多减或漏减道路宽度；靠墙围栏问题忽略墙长限制，未舍去超出墙长的解。 4、销售利润问题中，价格与销量的变化关系搞反，涨价写成销量增加，降价写成销量减少；计算总利润时误用总售价代替单件利润。 5、解完方程后忘记检验实际意义，直接将两个根都作为答案，出现人数为负、长度为负、时间超出范围等错误。 6、间接设未知数时，最后答案未转换为题目所求的量，答非所问。 重点 1、列一元二次方程解应用题的六步解题流程，特别是“验”的双重检验要求。 2、传播、增长率、销售利润、几何面积、循环计数五大类核心题型的等量关系与列方程方法。 3、数学建模思想，将实际情境抽象为一元二次方程模型的转化方法。 4、结合实际意义对方程的解进行取舍，培养数学应用的严谨性。 难点 1、复杂几何面积问题的图形转化（多隔断、带门、靠墙多矩形组合），准确表示边长与面积。 2、动态几何与动点问题，用含时间的式子表示线段，结合勾股定理、面积公式列方程。 3、跨学科、大情境类问题的信息提取，将非数学背景的描述转化为数学等量关系。 4、方案可行性判断与多解取舍问题，结合判别式、实际限制条件进行综合分析。 一、单选题 1．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 3．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 5．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 6．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 三、解答题 7．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形新阵法，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 8．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 9．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 10．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $