第01讲 一元二次方程的概念与配方法解一元二次方程（暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第01讲 一元二次方程的概念与配方法解一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程核心概念 2 知识点02 直接开平方法（配方法基础） 3 知识点03 配方法（本节重难点） 3 剖题型·讲技巧 题型1 判定一元二次方程 4 题型2 整理一般式，求解各项系数 5 题型3 已知方程根，求参数/代数式值 5 题型4 直接开平方法解方程 6 题型5 配方法解方程（基础必考） 7 题型6 配方求二次三项式最值 8 释疑惑·重难拓展 题型1 含参数一元二次方程定义类求值 10 题型2 配方证明代数式恒正/恒负 10 题型3 作差配方比较多项式大小 12 知中考·真题探源 14 练好题·提分培优 15 课标要点 1.理解一元二次方程的定义，精准判定一元二次方程，熟练将方程整理为一般形式，准确辨析二次项、一次项、常数项及各项系数。 2.理解一元二次方程根的定义，掌握代根求值法，可利用方程根求解式子参数、代数式的值。 3.掌握直接开平方法解题原理，吃透配方法核心逻辑，熟记配方法解方程步骤，可熟练用配方法求解任意一元二次方程。 4.掌握二次三项式配方技巧，利用配方求解代数式最值、比较多项式大小，解决含参数恒成立、根的存在性培优题型。 5.感悟数学降次、转化核心思想，搭建一元二次方程知识框架，为公式法、因式分解法、实际应用题学习铺垫基础。 知识点01 一元二次方程核心概念 1. 定义 只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且等式两边均为整式的方程。 ✅三大必备条件（缺一不可）：①整式方程；②单未知数；③化简后最高次数为2、二次项系数不为0 ❌排除类型：分式方程、根式内含未知数方程、多元方程、最高次≠2的整式方程 2. 一般形式 ：二次项，为二次项系数（a≠0，重中之重） ：一次项，为一次项系数 ：常数项 ⚠️整理规则：移项使等式右侧为0，未知数按降幂排列，系数自带正负符号。 3. 方程的根 能使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫方程的根。核心用法：代根入式，构造等式求参数。 练习 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 直接开平方法（配方法基础） 1. 适用两种标准形式 ：若，解为；若，无实数根 ：若，解为；若，无实数根 2. 核心思想 降次：将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 练习 2．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 知识点03 配方法（本节重难点） 1. 核心目标 将一般式恒等变形为完全平方形式： 2. 配方法解方程五步标准流程 化1：方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1 移项：将常数项移至等式右侧，未知数项留在左侧 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 平方：左侧整理为完全平方式，右侧合并常数 开方：右侧≥0，直接开平方求解；右侧<0，方程无实数根 3. 二次三项式代数式配方（培优必考） 用途：求解代数式最值、判断代数式正负、比较多项式大小。 练习 3．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1) (2) 题型1 判定一元二次方程 方法技巧 ✅三步核验法：①判断是否为整式方程；②判断未知数个数是否为1；③化简后最高次为2且二次项系数不为0。 💡含参数题型：题干未指定方程类型，必须分二次项系数=0、二次项系数≠0分类讨论。 【典例1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 题型2 整理一般式，求解各项系数 方法技巧 所有项左移，右侧归零，降幂排序；系数必须包含前方正负号。 示例：一般式：，一次项系数为。 【典例2-1】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例2-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 题型3 已知方程根，求参数/代数式值 方法技巧 ✅代根法+整体代入法 将根代入原方程，得到参数方程求值；高阶题型拆分整式，整体代换二次式简化运算。 【典例3-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【典例3-2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的一个根，则的值为________． 【变式3-3】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 题型4 直接开平方法解方程 方法技巧 先分离整式平方项与常数项，平方项单独放左侧；右侧负数直接判定无实数根，开方务必保留正负双根。 【典例4-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【典例4-2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程： 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【变式4-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： 【变式4-3】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型5 配方法解方程（基础必考） 方法技巧 📝速记口诀：除系数，移常数，加半方，凑平方，再开方 易错红线：二次项系数不为1时，配方加减必须等式两边同步运算。 【典例5-1】（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【典例5-2】（25-26九年级下·广东深圳·期中）解方程：． 【变式5-1】（2026·安徽·二模）解方程：． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）用配方法解方程 (1)； (2)． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 题型6 配方求二次三项式最值 方法技巧 若，完全平方恒≥0，代数式有最小值 若，完全平方恒≤0，代数式有最大值 取最值条件：令完全平方部分整体为0，即可求出对应x取值 【典例6-1】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 【典例6-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）代数式的最小值为______． 【典例6-3】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式的最值． 解：． ， 当时，有最小值，无最大值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________； (2)求代数式的最值． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 题型1 含参数一元二次方程定义类求值 1.（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 2．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 题型2 配方证明代数式恒正/恒负 5.（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 6．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 7.阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 8.配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 题型3 作差配方比较多项式大小 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 11．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知，则y的最小值是________． (2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________． (3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由． 12．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 13．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值－1， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由； 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 二、填空题 3．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 5．（2026·甘肃武威·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 6．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 7．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 8．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 三、解答题 9．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 10． （2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 二、填空题 2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若，则关于x的二次方程的解是___． 三、解答题 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程的两根分别为、，且．若求证：． 5．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“大半根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，且，，所以一元二次方程是“大半根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：下列方程中，是“大半根方程”的是 （只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“大半根方程”，求m的取值范围． (3)已知关于x的方程，其中．求证：该方程不可能是“大半根方程”． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 10．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【拓展应用】 （4）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的概念与配方法解一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程核心概念 2 知识点02 直接开平方法（配方法基础） 3 知识点03 配方法（本节重难点） 4 剖题型·讲技巧 题型1 判定一元二次方程 5 题型2 整理一般式，求解各项系数 7 题型3 已知方程根，求参数/代数式值 8 题型4 直接开平方法解方程 10 题型5 配方法解方程（基础必考） 12 题型6 配方求二次三项式最值 14 释疑惑·重难拓展 题型1 含参数一元二次方程定义类求值 18 题型2 配方证明代数式恒正/恒负 19 题型3 作差配方比较多项式大小 22 知中考·真题探源 27 练好题·提分培优 31 课标要点 1.理解一元二次方程的定义，精准判定一元二次方程，熟练将方程整理为一般形式，准确辨析二次项、一次项、常数项及各项系数。 2.理解一元二次方程根的定义，掌握代根求值法，可利用方程根求解式子参数、代数式的值。 3.掌握直接开平方法解题原理，吃透配方法核心逻辑，熟记配方法解方程步骤，可熟练用配方法求解任意一元二次方程。 4.掌握二次三项式配方技巧，利用配方求解代数式最值、比较多项式大小，解决含参数恒成立、根的存在性培优题型。 5.感悟数学降次、转化核心思想，搭建一元二次方程知识框架，为公式法、因式分解法、实际应用题学习铺垫基础。 知识点01 一元二次方程核心概念 1. 定义 只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且等式两边均为整式的方程。 ✅三大必备条件（缺一不可）：①整式方程；②单未知数；③化简后最高次数为2、二次项系数不为0 ❌排除类型：分式方程、根式内含未知数方程、多元方程、最高次≠2的整式方程 2. 一般形式 ：二次项，为二次项系数（a≠0，重中之重） ：一次项，为一次项系数 ：常数项 ⚠️整理规则：移项使等式右侧为0，未知数按降幂排列，系数自带正负符号。 3. 方程的根 能使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫方程的根。核心用法：代根入式，构造等式求参数。 练习 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 知识点02 直接开平方法（配方法基础） 1. 适用两种标准形式 ：若，解为；若，无实数根 ：若，解为；若，无实数根 2. 核心思想 降次：将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 练习 2．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 知识点03 配方法（本节重难点） 1. 核心目标 将一般式恒等变形为完全平方形式： 2. 配方法解方程五步标准流程 化1：方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1 移项：将常数项移至等式右侧，未知数项留在左侧 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 平方：左侧整理为完全平方式，右侧合并常数 开方：右侧≥0，直接开平方求解；右侧<0，方程无实数根 3. 二次三项式代数式配方（培优必考） 用途：求解代数式最值、判断代数式正负、比较多项式大小。 练习 3．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ，即， ，即， ． 题型1 判定一元二次方程 方法技巧 ✅三步核验法：①判断是否为整式方程；②判断未知数个数是否为1；③化简后最高次为2且二次项系数不为0。 💡含参数题型：题干未指定方程类型，必须分二次项系数=0、二次项系数≠0分类讨论。 【典例1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中是分式方程，不是整式方程，故A不符合要求． 选项B中未说明，当时方程不是二次方程，故B不符合要求． 选项C中，展开左边得 ，原方程化为，整理得，是一元一次方程，故C不符合要求． 选项D中满足一元二次方程的所有条件，故D符合要求． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 题型2 整理一般式，求解各项系数 方法技巧 所有项左移，右侧归零，降幂排序；系数必须包含前方正负号。 示例：一般式：，一次项系数为。 【典例2-1】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 【典例2-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 【变式2-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【答案】11 【详解】原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 题型3 已知方程根，求参数/代数式值 方法技巧 ✅代根法+整体代入法 将根代入原方程，得到参数方程求值；高阶题型拆分整式，整体代换二次式简化运算。 【典例3-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【典例3-2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【详解】解： 是方程 的一个根， ， 即 ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型4 直接开平方法解方程 方法技巧 先分离整式平方项与常数项，平方项单独放左侧；右侧负数直接判定无实数根，开方务必保留正负双根。 【典例4-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【典例4-2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解： 解得，． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 解得． 【变式4-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型5 配方法解方程（基础必考） 方法技巧 📝速记口诀：除系数，移常数，加半方，凑平方，再开方 易错红线：二次项系数不为1时，配方加减必须等式两边同步运算。 【典例5-1】（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ 则， ，． 【典例5-2】（25-26九年级下·广东深圳·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 整理得，， 解得，． 【变式5-1】（2026·安徽·二模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ∴，． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）用配方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ，． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 题型6 配方求二次三项式最值 方法技巧 若，完全平方恒≥0，代数式有最小值 若，完全平方恒≤0，代数式有最大值 取最值条件：令完全平方部分整体为0，即可求出对应x取值 【典例6-1】（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 【典例6-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）代数式的最小值为______． 【答案】1 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 【典例6-3】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式的最值． 解：． ， 当时，有最小值，无最大值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________； (2)求代数式的最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 题型1 含参数一元二次方程定义类求值 1.（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 2．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 题型2 配方证明代数式恒正/恒负 5.（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． 6．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 7.阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 8.配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 题型3 作差配方比较多项式大小 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 11．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试应用上述方法解决下列问题： (1)已知，则y的最小值是________． (2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________． (3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：配方得， ∵，， ∴，即的最小值是3． 故答案为：3． （2）解：， ， ， 则y有最大值，最大值为9． 故答案为：大，9． （3），理由如下 ，， ， 即，所以． 12．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 13．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值－1， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由； 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为． （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选B． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 二、填空题 3．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 【答案】 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】5 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 5．（2026·甘肃武威·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 6．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 7．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 8．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 10．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】，； 【详解】解：， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 二、填空题 2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若，则关于x的二次方程的解是___． 【答案】 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 又∵关于x的二次方程， ∴二次项系数，即， ∴， 将代入方程得，即， ∴，即 ， 解得：． 故答案为： ． 三、解答题 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数． 【详解】证明： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程的两根分别为、，且．若求证：． 【详解】（1）解：， ， 若一元二次方程有实数根， 则， ∴； （2）解：， ， 显然， ， 当时， ， 则， ∴． 5．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【详解】（1）解：由完全平方公式，可知：， 故答案为9； （2）解：； 由于，所以， 即的最小值为6． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“大半根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，且，，所以一元二次方程是“大半根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：下列方程中，是“大半根方程”的是 （只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“大半根方程”，求m的取值范围． (3)已知关于x的方程，其中．求证：该方程不可能是“大半根方程”． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“大半根方程”； ②解方程得：，， ， 方程不是“大半根方程”； ③解方程得：，， 则，， 方程是“大半根方程”； 故答案为：③； （2）解：解得：，， 是“大半根方程”， ， ， 若，解得：． 若，解得， ． 综上所述，的取值范围为或； （3）证明：解方程得：，， ， ，． 则， 假设该方程为“大半根方程”，则必有， 解得：． 这与相矛盾． 所以该方程不可能是“大半根方程”． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为； 故答案为：答案不唯一； （2）， ，， ， 故答案为：12 （3）， 由题意得：， ； （4）由题意，， ，即 又， 当时，取最小值为4， 的最小值为 10．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【拓展应用】 （4）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵， （2）解： ∵ ∴ 故当时，多项式的最小值为． （3）解：∵ ∴ ∴ ∴，，∴ ∴，， 则的周长为12 （4）解：由题意，得 当时，取得最小值，最小值为 ∵的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根 ∴是方程的一个根 ∴， ∴ ∵四边形的周长为 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $