第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 公式法解一元二次方程 解方程并填写下表． (1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋6x－16＝0 ____ ____ ____ ____ 2x2－3x＋1＝0 ____ ____ ____ ____ 5x2＋4x－1＝0 ____ ____ ____ ____ 你发现了什么？ 【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 【例1】已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【变式1-1】设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【变式1-2】若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式1-3】已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 【例2】若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 【变式2-1】若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【变式2-2】已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【变式2-3】设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【题型3 由两根关系式求参数的值】 【例3】已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【变式3-1】已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围． (2)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】如果，且满足，，那么代数式_________ 【变式4-1】已知，且，，则的值为___________． 【变式4-2】两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【变式4-3】已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【题型5 判断根的正负性】 【例5】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【变式5-1】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【变式5-2】已知，关于x的一元二次方程． (1)试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； (2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 【变式5-3】已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 模块三 课后作业 1．已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 2．已知实数、满足，且，则_____． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 4．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 5．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 6．已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 7．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)若a为正整数，求a的值； (2)在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值． 9．已知一元二次方程：． (1)若方程有两个实数根，求的范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 公式法解一元二次方程 解方程并填写下表． (1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋6x－16＝0 ____ ____ ____ ____ 2x2－3x＋1＝0 ____ ____ ____ ____ 5x2＋4x－1＝0 ____ ____ ____ ____ 你发现了什么？ 【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 【例1】已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1), (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能列出关系式是关键． （1）依据题意，由根与系数的关系计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）计算可以得解； （3）依据题意，由，结合（1）（2）代入计算可以得解； （4）依据题意，由，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：由题意，∵方程， ∴． ∴，． （2）解： ； （3）解：； （4）解：由题意， ， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 【变式1-1】设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 【变式1-2】若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系及完全平方公式将代数式变形后代入求解即可 （2）根据根与系数的关系，将代数式通分后代入求解即可. 【详解】（1）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴ . 【变式1-3】已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 【例2】若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式的变形求值，掌握好相关知识是关键． 由方程的解的意义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴原式． 故答案为：． 【变式2-1】若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 【变式2-2】已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 【变式2-3】设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 【题型3 由两根关系式求参数的值】 【例3】已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 【变式3-1】已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 【答案】2 【分析】先利用一元二次方程有两个实根的条件，通过判别式非负确定的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解k，舍去不符合范围的解后，计算得到的值． 【详解】解 ∵是一元二次方程的两实根， ∴判别式， 解得； 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ∵， ∴ 将，，代入得 解得，， ∵， ∴舍去，得， ∴． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用． （1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围． （2）问利用完全平方公式变形将转化为，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ∴， 整理得， 解得， 由（1）得 舍去， 因此． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围． (2)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质，掌握利用判别式确定参数范围，结合韦达定理和绝对值性质求解参数，注意结果需满足初始条件是解题的关键． （1）根据方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求的取值范围； （2）先根据，得到，则由可得，进而得到，由此可得到，进而求出的值，最后根据（1）的范围确定的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得． （2）解：∵方程的两个实数根为，， ，． ， ． ， ， ． ， ， ， ，解得，． 由（1）可知，， ． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】如果，且满足，，那么代数式_________ 【答案】2037 【分析】由已知条件可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值. 再将用含的式子替换，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，且满足，，即、， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系得：，， ， ， ． 【变式4-1】已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 【变式4-2】两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 【变式4-3】已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ∴的值为定值； （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵，同号， ∴，解得：． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【题型5 判断根的正负性】 【例5】已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 【变式5-1】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围： （1）两根都小于0； （2）两根都大于1； （3）方程一根大于1，一根小于1． 【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3 【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据： （1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围； （2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴，依此求出a的取值范围； （3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围； 【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根， ∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0， ∴a＜-1或a＞2． 设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β， α+β=2a，αβ=a+2． （1）∵两根都小于0， ∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0， 解得：-2＜a＜0， 又，a＜0； ∵a＜-1或a＞2， ∴-2＜a＜-1； （2）∵两根都大于1， ∴（α-1）（β-1）＞0， ∴αβ-（α+β）+1＞0， ∴a+2-2a＞-1， ∴a＜3， 又，a＞1； 又a＜-1或a＞2， ∴2＜a＜3； （3））∵一根大于1，一根小于1， ∴（α-1）（β-1）＜0， ∴αβ-（α+β）+1＜0， ∴a+2-2a＜-1， ∴a＞3. 【变式5-2】已知，关于x的一元二次方程． (1)试说明：不论m取何值时，该方程总有实数根； (2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)m的取值范围是 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程判别式为即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【详解】（1）由题可知：，，， 即 ， 不论m取何值，原方程有两个实数根． （2））解方程得， ， ，， 因为， ，即 所以m的取值范围是． 【变式5-3】已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案； （2）当两根一个大于2一个小于2时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与2的差的积小于零，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：证明： ， ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为，， 则：，， ∵方程有一个根大于2，另一根小于2， ∴， ∴， 即， 解得． 模块三 课后作业 1．已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由根与系数的关系可得， ，即方程的另一根为． 2．已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 4．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得 ，，进而求得，，再结合根与系数的关系代入求值即可． 【详解】解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． 5．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 6．已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴； （2）解：由（1）知, ∴， ∴ 7．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，， ． 8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)若a为正整数，求a的值； (2)在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式列出不等式，解出的取值范围，再结合为正整数，确定的值． （2）先根据（1）的条件确定偶数的值，代入方程求出方程的根，再利用根的定义和韦达定理，对代数式进行化简求值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴ ， ∴， 为正整数， ，，； （2）解：是偶数，且， 将代入原方程得即， 是方程的根， ， ， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴ 9．已知一元二次方程：． (1)若方程有两个实数根，求的范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，，再由题意可得，据此求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，再由完全平方公式得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得，，， ∵方程的两个实数根的差为2， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $