25.1一元二次方程的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.1一元二次方程的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 一元二次方程的定义】 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 【知识点3 一元二次方程的解】 使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。 典型例题与巩固练习： 题型一：识别一元二次方程 典型例题 例1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固练习 练1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 练2. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 练3.下列方程中，关于的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 练4.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 例2.是一元二次方程，则m=___________． 练1．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 练2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 练3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 练4．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 题型三：一元二次方程的一般形式 例3.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 练1．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 练2．将方程x2+2＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，4，2 B．1，4，﹣2 C．1，﹣4，2 D．1，﹣4，﹣2 练3.一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______． 练4．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 题型四：由一元二次方程的解求值 例4.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 练1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 练2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 练3.已知关于的方程的一个根是2，则的值是______． 练4．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　 ． 题型五：由一元二次方程的根求另一方程的根 例5.关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是_____． 练1.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 练2.已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________． 练3.关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________ 综合训练： 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A．x2 B．（a2+1）x2-1=0 C．ax2-x+2=0 D．x2+x=x2-1 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是(    ) A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 4.一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4 5.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2025﹣2a＋2b的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2027 6.已知方程的一个根是1，则m的值为________． 7.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______． 8.已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1一元二次方程的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 一元二次方程的定义】 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 【知识点3 一元二次方程的解】 使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。 典型例题与巩固练习： 题型一：识别一元二次方程 典型例题 例1．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 巩固练习 练1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 练2. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 【答案】B 练3.下列方程中，关于的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 练4.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 题型二：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 例2.是一元二次方程，则m=___________． 【答案】4 练1．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 【答案】C． 练2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 【答案】C． 练3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【答案】﹣1． 练4．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 【答案】0． 题型三：一元二次方程的一般形式 例3.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 练1．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 【答案】C 练2．将方程x2+2＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，4，2 B．1，4，﹣2 C．1，﹣4，2 D．1，﹣4，﹣2 【答案】C． 练3.一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______． 【答案】 练4．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 【答案】﹣5． 题型四：由一元二次方程的解求值 例4.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】 练1．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【答案】D． 练2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】D． 练3.已知关于的方程的一个根是2，则的值是______． 【答案】 练4．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　 ． 【答案】﹣4． 题型五：由一元二次方程的根求另一方程的根 例5.关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是_____． 【答案】 练1.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 练2.已知一元二次方程有一个根为，则另一根为________． 【答案】4 练3.关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________ 【答案】x1=3，x2=-8 综合训练： 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A．x2 B．（a2+1）x2-1=0 C．ax2-x+2=0 D．x2+x=x2-1 【答案】B 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 3.已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是(    ) A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【答案】A 4.一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4 【答案】A 5.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2025﹣2a＋2b的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2027 【答案】A 6.已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 7.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______． 【答案】 8.已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　　 ． 【答案】5． 学科网（北京）股份有限公司 $