第02讲 降次——解一元二次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第02讲 降次——解一元二次方程 目录 知识点1 降次思想（本章核心） 2 知识点2 直接开平方法 2 知识点3 配方法 2 知识点4 根的判别式 3 知识点5 公式法 3 知识点6 因式分解法 3 知识点7 换元法 3 知识点8 可化为一元二次方程的分式方程 3 知识点9 根与系数的关系（韦达定理） 3 题型1 直接开平方法解一元二次方程 4 题型2 配方法解一元二次方程 8 题型3 配方法的应用 9 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 18 题型6 公式法解一元二次方程 20 题型7 因式分解法解一元二次方程 22 题型8换元法解一元二次方程 24 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 29 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 31 1. 知识目标：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种基础解方程方法；理解根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的定义与适用条件；了解换元法、分式方程化一元二次方程的解题原理。 2. 能力目标：能根据方程形式灵活选择最简解法；熟练配方、套用求根公式、因式分解解方程；会用判别式判断根的情况、反向求参数；掌握配方法、韦达定理的常见应用，能规范求解可化为一元二次方程的分式方程。 3. 素养目标：理解“降次”核心数学思想（二次转一次），培养分类讨论、整体代换、择优解题的思维，提升方程运算与综合应用能力。 知识点1 降次思想（本章核心） 一元二次方程是二次方程，无法直接求解，所有解法的本质都是降次：把二次方程转化为两个一元一次方程，实现“化繁为简、化未知为已知”，是贯穿整章的核心思想。 知识点2 直接开平方法 1. 适用形式：形如或的一元二次方程。 2. 解法原理：利用平方根的定义直接开平方降次。 3. 根的情况：两个不相等实数根；两个相等实数根；无实数根。 知识点3 配方法 1. 定义：通过配方，将一元二次方程化为的完全平方式，再用开平方法解题。 2. 核心口诀：移项、化1、配方、开方、求解。 3. 关键规则：二次项系数化为1后，等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 知识点4 根的判别式 对于一元二次方程，定义判别式：。 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 补充：只有当时，判别式规则才成立。 知识点5 公式法 1. 求根公式：由配方法推导得出，当时，。 2. 适用范围：所有有实数根的一元二次方程，是通用万能解法。 知识点6 因式分解法 1. 原理：若，则或，直接降次为一次方程。 2. 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法（重点）。 3. 优势：计算量最小、解题最快，是优先选择的简便解法。 知识点7 换元法 针对复杂、重复结构的一元二次方程，将重复整体设为新元，简化为标准一元二次方程求解，解出后再回代求原未知数，属于整体代换思想。 知识点8 可化为一元二次方程的分式方程 1. 解法核心：去分母，两边同乘最简公分母，转化为整式（一元二次）方程求解。 2. 必考步骤：必须检验，排除使分母为0的增根。 知识点9 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程的两根为，且，则： 两根和： 两根积： 适用：不解方程，整体求值、判断根的符号、构造方程。 题型1 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧：只适配平方式结构，无脑套用开平规则。1. 先整理方程，化为标准形式；2. 右侧为正数，开方取正负两个根；右侧为0，两根相等均为0；右侧为负数，直接判定无实数根；3. 整体加括号开方，展开求解一次方程；4. 无需移项配方，能开方优先开方，最快解题。 易错点：开方遗漏正负号、负数开方未判无解。 【典例1】．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【变式1】．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 根据直接开平法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴x2， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 【变式2】．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 【变式3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或； 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程变形为“平方项等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义求解，注意一个正数有两个互为相反数的平方根． （1）先通过移项将方程化为的形式，再开平方求解； （2）先将的系数化为1，得到的形式，再开平方求解； （3）先移项，再将的系数化为1，转化为的形式后开平方求解； （4）先移项将单独放在一边，得到的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：移项得，即， 开平方得； （2）解：两边同时除以得， 开平方得； （3）解：移项得， 将系数化为1，即， 开平方得； （4）解：移项得， 开平方得， 当时，；当时，； 故方程的解为或． 题型2 配方法解一元二次方程 解题技巧：五步标准解题法，步骤零扣分。1. 移项：常数项移到等式右侧；2. 化1：二次项系数化为1；3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”；4. 整理：左侧写成完全平方式，右侧合并常数；5. 开方求解：根据开平方法求出两根。 核心禁忌：二次项系数不为1时，禁止直接配方。 【典例2】．用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 【详解】解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 【变式1】．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 【变式2】．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式3】．（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 题型3 配方法的应用 解题技巧：不配方程、专配代数式，求最值、判符号。1. 二次式配方：将配成顶点式；2. 最值判断：a>0有最小值n，a<0有最大值n；3. 符号判断：利用完全平方非负性，判断代数式恒正、恒负；4. 参数求解：根据最值、取值范围反向求参数值。 秒杀思路：完全平方永远≥0，是配方应用的核心依据。 【典例3】．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 【变式1】．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 【变式2】．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 【变式3】．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧：定值代入、三步判定。1. 找准a、b、c，带入判别式；2. 精准计算Δ的数值；3. 根据Δ与0的大小关系，直接判定根的三种情况；4. 无需解方程，仅通过参数即可快速判断根的个数。 注意：题目未说明是一元二次方程时，需先讨论a=0（一次方程）和a≠0（二次方程）两种情况。 【典例4】．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 【变式1】．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 【变式2】．关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 解题技巧：逆向列不等式，分类讨论求解。1. 先保证（一元二次方程前提）；2. 根据题意列对应关系式：两不等根→Δ>0，两相等根→Δ=0，无实根→Δ<0；3. 解不等式或方程求出参数范围；4. 回代校验，舍去不符合题意的参数取值。 必考陷阱：极易遗漏二次项系数a≠0的限制条件。 【典例5】．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 【变式1】．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 【变式2】．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式3】．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 题型6 公式法解一元二次方程 解题技巧：万能通用法，四步规范解题。1. 先把方程化为标准一般形式；2. 准确识别a、b、c的正负与数值；3. 先算Δ，Δ<0直接判定无实数根，无需代入公式；4. Δ≥0后代入求根公式，化简分数、根式得到最终根。 适用场景：无法因式分解、配方繁琐的复杂方程，首选公式法。 【典例6】．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 【变式1】．用公式法解方程：． 【答案】 ， 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，． 【变式2】．解方程：． 【答案】    【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， ， 解得，． 【变式3】．用公式法解方程： 【答案】， 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】注意：一元二次方程必须要化成一般形式． 题型7 因式分解法解一元二次方程 解题技巧：最简优先法，快速降次。1. 移项：方程右侧化为0，左侧整理为多项式；2. 因式分解：优先提公因式，再用公式法，最后十字相乘；3. 拆分方程：化为“A·B=0”形式；4. 直接令A=0、B=0，解两个一次方程得根。 核心口诀：右化零、左分解、两因式、各求解。 易错点：禁止两边随意约分未知数，容易丢失根。 【典例7】．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【变式1】．解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 【变式2】．解方程： 【答案】， 【详解】解：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【变式3】．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：原方程为， 移项得， 提取公因式得， 化简得， 可得或， 解得，； （2）解：原方程为， 移项得， 因式分解得， 解得． 题型8换元法解一元二次方程 解题技巧：整体代换、化繁为简。1. 观察方程，找出重复出现的整体结构；2. 设新元替换整体，将复杂方程转化为标准一元二次方程；3. 解出新元的取值；4. 回代原整体，求出原未知数所有根；5. 检验取舍不合理根。 适用场景：高次、重复嵌套、结构复杂的特殊方程。 【典例8】．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 【变式1】．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式2】．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 【变式3】．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 解题技巧：去分母化整式，验根必不可少。1. 找最简公分母，方程两边同乘公分母，消去所有分母；2. 整理化简，得到一元二次整式方程；3. 解出整式方程的根；4. 验根：代入最简公分母，分母为0即为增根，舍去；不为0即为有效根。 必考规则：分式方程必须写检验步骤，无检验步骤直接扣分。 【典例9】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【变式1】．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 【变式2】．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得，， 经检验，，都是原方程的解， ∴原方程的解为，； （2）解： 方程两边同乘以，得， 解得，， 经检验，是方程的解， ∴原方程的解为． 【变式3】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可； （2）先去分母化为一元二次方程，然后解一元二次方程，再检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得 解得 检验：当时，，则是增根， ∴原方程无解． （2）解： 方程两边乘，得 整理得 解得 经检验，是原方程的根． ∴原方程的解为． 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧：整体代换、不解方程求值。1. 前提校验：先确认且，保证方程有实数根；2. 套用韦达公式，求出、整体值；3. 代数式变形：将所求式子化为含两根和、两根积的形式（平方和、倒数和、差的平方等）；4. 整体代入计算，快速得出结果。 常用变形：、。 【典例10】．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 【变式2】．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式3】．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 1．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 2．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 3．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 5．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 6．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 7．“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式． 【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． 8．已知整式，其中，为正整数，，…，，为整数，且，，下列说法： ①满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有19个； ③满足条件的二次二项式有16个； ④当且时，满足方程有实数解，这样的有15个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题目给出的条件，逐个验证四个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：验证①：∵是单项式， ∴仅非零，其余系数均为； ∴对，时，，不满足， ∴仅，，此时，为正整数，故，共个， 即满足条件的单项式有3个，①说法正确； 验证②：由，且， 故所有，即，条件变为，， 当时，，，此时，，， 若，则由可得，解得，满足条件的整数有4个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 若，则由可得，解得，满足条件的整数有3个； 即当时，满足条件的整式有个； 同理当时，满足条件的整式有个； 当时，满足条件的整式有个； 故总共有，②错误； 验证③：∵二次二项式， ∴，，恰好两个非零系数，则、中有一个为零， 若，则，矛盾，不合题意； 若，则，，设，则， 当时，，符合条件的共个； 当时，，，由可得，所有组合都符合，共个； 总共有个，③正确； 验证④：∵，，， ∴， ∵方程有实数解， ∴方程有实根， ∴判别式， 当时，，无实根，共个； 当，，令，，，由可得，， ∵， ∴， 代入整理得， 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由和解得，符合条件的有个； 当，时，由解得，与矛盾； 当，时，由解得，与矛盾； ∴符合条件的共，故④错误． 综上，正确的说法共个． 9．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 10．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 12．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 13．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 14．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或； 解得：或； （2）， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 15．解下列方程： (1)； (2)．（用公式法） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：∵，，，， ∴， 解得，． 16．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 17．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 18．已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 19．已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【答案】(1)0， (2) (3)证明：为方程的两个实数根， ， ， ， 即分解因式的结果可以是． 【分析】（1）利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）原方程可化为，利用根与系数的关系求解即可； （3）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴原方程可化为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 原方程可化为． ， ． 为方程的两个实数根， ， ； （3）略 20．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 降次——解一元二次方程 目录 知识点1 降次思想（本章核心） 2 知识点2 直接开平方法 2 知识点3 配方法 2 知识点4 根的判别式 3 知识点5 公式法 3 知识点6 因式分解法 3 知识点7 换元法 3 知识点8 可化为一元二次方程的分式方程 3 知识点9 根与系数的关系（韦达定理） 3 题型1 直接开平方法解一元二次方程 4 题型2 配方法解一元二次方程 5 题型3 配方法的应用 5 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 7 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型6 公式法解一元二次方程 8 题型7 因式分解法解一元二次方程 8 题型8换元法解一元二次方程 9 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 10 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 11 1. 知识目标：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种基础解方程方法；理解根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的定义与适用条件；了解换元法、分式方程化一元二次方程的解题原理。 2. 能力目标：能根据方程形式灵活选择最简解法；熟练配方、套用求根公式、因式分解解方程；会用判别式判断根的情况、反向求参数；掌握配方法、韦达定理的常见应用，能规范求解可化为一元二次方程的分式方程。 3. 素养目标：理解“降次”核心数学思想（二次转一次），培养分类讨论、整体代换、择优解题的思维，提升方程运算与综合应用能力。 知识点1 降次思想（本章核心） 一元二次方程是二次方程，无法直接求解，所有解法的本质都是降次：把二次方程转化为两个一元一次方程，实现“化繁为简、化未知为已知”，是贯穿整章的核心思想。 知识点2 直接开平方法 1. 适用形式：形如或的一元二次方程。 2. 解法原理：利用平方根的定义直接开平方降次。 3. 根的情况：两个不相等实数根；两个相等实数根；无实数根。 知识点3 配方法 1. 定义：通过配方，将一元二次方程化为的完全平方式，再用开平方法解题。 2. 核心口诀：移项、化1、配方、开方、求解。 3. 关键规则：二次项系数化为1后，等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 知识点4 根的判别式 对于一元二次方程，定义判别式：。 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 补充：只有当时，判别式规则才成立。 知识点5 公式法 1. 求根公式：由配方法推导得出，当时，。 2. 适用范围：所有有实数根的一元二次方程，是通用万能解法。 知识点6 因式分解法 1. 原理：若，则或，直接降次为一次方程。 2. 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法（重点）。 3. 优势：计算量最小、解题最快，是优先选择的简便解法。 知识点7 换元法 针对复杂、重复结构的一元二次方程，将重复整体设为新元，简化为标准一元二次方程求解，解出后再回代求原未知数，属于整体代换思想。 知识点8 可化为一元二次方程的分式方程 1. 解法核心：去分母，两边同乘最简公分母，转化为整式（一元二次）方程求解。 2. 必考步骤：必须检验，排除使分母为0的增根。 知识点9 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程的两根为，且，则： 两根和： 两根积： 适用：不解方程，整体求值、判断根的符号、构造方程。 题型1 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧：只适配平方式结构，无脑套用开平规则。1. 先整理方程，化为标准形式；2. 右侧为正数，开方取正负两个根；右侧为0，两根相等均为0；右侧为负数，直接判定无实数根；3. 整体加括号开方，展开求解一次方程；4. 无需移项配方，能开方优先开方，最快解题。 易错点：开方遗漏正负号、负数开方未判无解。 【典例1】．解方程： 【变式1】．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 配方法解一元二次方程 解题技巧：五步标准解题法，步骤零扣分。1. 移项：常数项移到等式右侧；2. 化1：二次项系数化为1；3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”；4. 整理：左侧写成完全平方式，右侧合并常数；5. 开方求解：根据开平方法求出两根。 核心禁忌：二次项系数不为1时，禁止直接配方。 【典例2】．用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【变式2】．用配方法解方程：． 【变式3】．（用配方法解方程） 题型3 配方法的应用 解题技巧：不配方程、专配代数式，求最值、判符号。1. 二次式配方：将配成顶点式；2. 最值判断：a>0有最小值n，a<0有最大值n；3. 符号判断：利用完全平方非负性，判断代数式恒正、恒负；4. 参数求解：根据最值、取值范围反向求参数值。 秒杀思路：完全平方永远≥0，是配方应用的核心依据。 【典例3】．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式1】．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【变式2】．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【变式3】．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧：定值代入、三步判定。1. 找准a、b、c，带入判别式；2. 精准计算Δ的数值；3. 根据Δ与0的大小关系，直接判定根的三种情况；4. 无需解方程，仅通过参数即可快速判断根的个数。 注意：题目未说明是一元二次方程时，需先讨论a=0（一次方程）和a≠0（二次方程）两种情况。 【典例4】．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【变式2】．关于的一元二次方程的根的情况是______． 【变式3】．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 解题技巧：逆向列不等式，分类讨论求解。1. 先保证（一元二次方程前提）；2. 根据题意列对应关系式：两不等根→Δ>0，两相等根→Δ=0，无实根→Δ<0；3. 解不等式或方程求出参数范围；4. 回代校验，舍去不符合题意的参数取值。 必考陷阱：极易遗漏二次项系数a≠0的限制条件。 【典例5】．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【变式2】．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【变式3】．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 题型6 公式法解一元二次方程 解题技巧：万能通用法，四步规范解题。1. 先把方程化为标准一般形式；2. 准确识别a、b、c的正负与数值；3. 先算Δ，Δ<0直接判定无实数根，无需代入公式；4. Δ≥0后代入求根公式，化简分数、根式得到最终根。 适用场景：无法因式分解、配方繁琐的复杂方程，首选公式法。 【典例6】．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】．用公式法解方程：． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．用公式法解方程： 题型7 因式分解法解一元二次方程 解题技巧：最简优先法，快速降次。1. 移项：方程右侧化为0，左侧整理为多项式；2. 因式分解：优先提公因式，再用公式法，最后十字相乘；3. 拆分方程：化为“A·B=0”形式；4. 直接令A=0、B=0，解两个一次方程得根。 核心口诀：右化零、左分解、两因式、各求解。 易错点：禁止两边随意约分未知数，容易丢失根。 【典例7】．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【变式1】．解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【变式2】．解方程： 【变式3】．解方程： (1) (2) 题型8换元法解一元二次方程 解题技巧：整体代换、化繁为简。1. 观察方程，找出重复出现的整体结构；2. 设新元替换整体，将复杂方程转化为标准一元二次方程；3. 解出新元的取值；4. 回代原整体，求出原未知数所有根；5. 检验取舍不合理根。 适用场景：高次、重复嵌套、结构复杂的特殊方程。 【典例8】．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式2】．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【变式3】．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 解题技巧：去分母化整式，验根必不可少。1. 找最简公分母，方程两边同乘公分母，消去所有分母；2. 整理化简，得到一元二次整式方程；3. 解出整式方程的根；4. 验根：代入最简公分母，分母为0即为增根，舍去；不为0即为有效根。 必考规则：分式方程必须写检验步骤，无检验步骤直接扣分。 【典例9】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．解方程：． 【变式2】．解分式方程： (1) (2) 【变式3】．解方程： (1)； (2)． 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧：整体代换、不解方程求值。1. 前提校验：先确认且，保证方程有实数根；2. 套用韦达公式，求出、整体值；3. 代数式变形：将所求式子化为含两根和、两根积的形式（平方和、倒数和、差的平方等）；4. 整体代入计算，快速得出结果。 常用变形：、。 【典例10】．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【变式1】．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【变式2】．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式3】．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 1．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 5．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 6．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 7．“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．已知整式，其中，为正整数，，…，，为整数，且，，下列说法： ①满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有19个； ③满足条件的二次二项式有16个； ④当且时，满足方程有实数解，这样的有15个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若，该方程的解为______． 10．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 12．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 13．方程的根是__________． 14．解一元二次方程： (1)； (2)． 15．解下列方程： (1)； (2)．（用公式法） 16．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 17．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 18．已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 19．已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 20．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $