暑假预习：二次函数的概念3种高频考点专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数概念三大高频考点，以“定义理解-参数求解-实际建模”为逻辑链条，通过精选例题与变式题实现基础概念到应用能力的递进训练，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列二次函数关系式|8题（含几何/增长率等情境）|实际问题抽象数量关系，构建函数模型|基于定义的应用拓展，体现数学建模过程| |二次函数的定义|6题（概念辨析）|判断函数是否为二次函数，强化形式特征|概念生成的核心，奠定理解基础| |根据定义求参数|8题（含参数取值/求值）|利用定义条件求解参数，突出易错点|定义的深化应用，训练逻辑推理能力|

暑假预习：二次函数的概念3种高频考点专项训练 暑假预习：二次函数的概念3种高频考点专项训练 考点目录 列二次函数关系式 二次函数的定义 根据二次函数的定义求参数 考点一 列二次函数关系式 例1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 例2．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 例3．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 例4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 变式1．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 变式4．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 考点二 二次函数的定义 例1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 考点三 根据二次函数的定义求参数 例1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）函数是关于的二次函数，则______． 例4．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 变式1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 变式3．（25-26九年级上·陕西安康·月考）若是二次函数，则_______． 变式4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次函数的概念3种高频考点专项训练 暑假预习：二次函数的概念3种高频考点专项训练 考点目录 列二次函数关系式 二次函数的定义 根据二次函数的定义求参数 考点一 列二次函数关系式 例1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 例2．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 例3．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 例4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 变式3．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 变式4．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 考点二 二次函数的定义 例1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 例2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 变式1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 变式2．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 考点三 根据二次函数的定义求参数 例1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 例4．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 变式1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 变式2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 变式3．（25-26九年级上·陕西安康·月考）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 变式4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 2 学科网（北京）股份有限公司 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