矩形的性质、矩形的判定专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过分层例题与变式题构建从性质应用到判定证明的逻辑训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形的性质|6例+6变式|角度计算、线段长度、面积、动态问题|以矩形边、角、对角线性质为核心，结合勾股定理、中点等知识，形成性质应用的递进训练| |矩形的判定|3例+3变式|证明题（含多问）|从平行四边形出发，通过角、对角线等条件判定矩形，融合中线、角平分线等知识，强化推理过程|

矩形的性质、矩形的判定专项训练 矩形的性质、矩形的判定专项训练 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 例1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据矩形和等腰三角形的性质，推出，，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点， 矩形， ，，，，， ，， ， ， ， ． 例2．（2026·河北沧州·三模）生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意得出，，结合为中点求出的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 例4．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，，，利用证明，将转化为，最后得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例5．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 例6．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为__________． 【答案】16 【分析】由矩形的性质可得，由三角形中位线定理可得． 【详解】解：在矩形中，， 点，分别为，的中点， ， ． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 变式2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小长方形长为，宽为 ，可得，，解答即可； 【详解】解：设小长方形长为，宽为 ．由，，可得，， 解得，． 故阴影部分的面积为：； 变式3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】因为矩形对角线相等且互相平分，所以可得，结合，可判断为等边三角形，得到对角线长度．因为矩形内角为直角，所以在中，可利用勾股定理求出的长度．因为矩形面积为相邻两边长度的乘积，所以代入和的长度即可得到结果． 【详解】解：根据矩形性质得 ，． ， 是等边三角形， ， ． 由勾股定理得： ， 矩形面积 ． 变式4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点在对角线上，，连接，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接交于点O，过点B作于点F，由矩形的性质得到，可证明，得到；设，则，，进而得到，由勾股定理得，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O，过点B作于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 变式5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E在上，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 变式6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的大小为_________． 【答案】/120度 【分析】由矩形的性质可得，进而得，再由三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 考点二 矩形的判定 例1．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ，即． ∴四边形为平行四边形． ， ， ∴四边形为矩形． 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可证明四边形为平行四边形，根据，得出，即可得证． 【详解】略 例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵在中，，是边的中线， ∴，， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中线，， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 变式1．（2026·北京海淀·二模）如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，是中点，，平分交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，．连接，求的长． 【答案】(1)证明：∵，平分， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形； (2) 的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理得到，再在中利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵，，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，． 变式3．（2026·贵州黔东南·三模）如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴是等腰三角形， ∵E为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）首先，根据四边形是平行四边形，、F分别是、的中点，证得，，得四边形是平行四边形，然后，再证得是等腰三角形，再由E为的中点，得即可证得结论； （2）先证得是等边三角形， 得，再由E为的中点，得的长，接着，由，运用勾股定理得的长，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， 在中，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由(1)得， 在中，， 矩形的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形的性质、矩形的判定专项训练 矩形的性质、矩形的判定专项训练 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 例1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河北沧州·三模）生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（    ） A． B． C． D．4 例4．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 例5．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 例6．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为__________． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 变式2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 变式4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点在对角线上，，连接，若，，则的长为_______． 变式5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E在上，连接，若，，则的度数为________． 变式6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的大小为_________． 考点二 矩形的判定 例1．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． 例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 变式1．（2026·北京海淀·二模）如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，是中点，，平分交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，．连接，求的长． 变式3．（2026·贵州黔东南·三模）如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $