利用正方形的性质求角度、线段长、面积、正方形的判定专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦正方形性质应用与判定，通过分层题型构建从角度、线段、面积计算到判定证明的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用正方形的性质求角度|3例+3变式|结合对角线、等边三角形等构造等腰直角三角形|以正方形内角、对角线性质为基础，通过全等或等腰三角形推导角度关系| |利用正方形的性质求线段长|3例+3变式|涉及中点、平行线、勾股定理及菱形综合|从边长、对角线等基本量出发，结合几何变换与方程思想求解线段长度| |利用正方形的性质求面积|3例+3变式|含重叠部分、七巧板、弦图等面积转化问题|基于面积公式，通过全等或对称转化不规则图形为规则图形计算| |正方形的判定|3例+3变式|结合折叠、中点四边形及矩形/菱形判定|以定义为核心，综合运用边、角、对角线关系完成判定推理|

利用正方形的性质求角度、线段长、面积、正方形的判定专项训练 利用正方形的性质求角度、线段长、面积、正方形的判定专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 正方形的判定 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，即可解答． 【详解】解：在正方形中，，，， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是正方形对角线上一点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到，，由推出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据平角定义求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质求出的度数和，根据正方形的性质求出的度数和，从而得到和的度数，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解 ． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， ． 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质得到，，，，，则，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别是正方形的边和上的一点，且是等边三角形，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 变式3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接，由正方形性质得，，由得，得，结合 、证，得，故为等边三角形，，从而． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，交于点，证明，求出的长，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， 解得， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，． 例2．（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，过点M作于点H，根据得，根据求出的长，即得的长，利用全等三角形性质求出的长，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，过点M作于点H， 则． ∵正方形中，，且， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，在正方形中作菱形，连接，若，，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】连接、、、，、相交于点O，根据正方形的性质得出，O为中点，，，，，，根据菱形的性质得出，过中点O，，则在上，证明，得出，过B在左侧作，并截取，则，，证明，得出，，证明，得出，则，即可求解． 【详解】解：连接、、、，、相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，O为中点，，，， ∴，，即， ∵四边形是菱形， ∴，过中点O，， ∴在上， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 过B在左侧作，并截取， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图1中连接，如图2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形得到的长，再根据菱形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解∶如图1中连接，如图2中，连接． 在图2中， ∵四边形是正方形， ， ，， ， 在图1中，∵四边形是菱形，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴． 变式2．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】连接，，，先证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，连接．若正方形的顶点在线段上，点，，在同一条直线上，则正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】连接，，由条件可得垂直平分，则，再由四边形是正方形，可得，则可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即正方形的边长为． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，面积为8的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边、于E、F两点，则阴影部分的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由证出，可得到阴影部分的面积为正方形面积的四分之一． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 例3．（2026·陕西宝鸡·二模）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【答案】8 【分析】根据拼接可知：“小鱼”形象的整体面积与正方形的面积相等，“小鱼”形象的非阴影部分的面积等于正方形中的的面积，据此即可作答． 【详解】解：∵正方形中，， ∴． 变式1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长，进而可知正方形的面积． 【详解】解：由图可知正方形的边长， ∴这个正方形的面积是． 变式2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 【答案】2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，先求出每一个直角三角形的面积和大正方形的面积，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积等于：， ∵， ∴每一个直角三角形的面积为：， ∵， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式3．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先确定正方形的边长，再确定，得到的面积，再用总面积减四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：正方形的面积是， 正方形的边长为， ， ， 又， 所以， 又， ， 则四边形的面积为． 考点四 正方形的判定 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点B，D恰好都和点G重合， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 (2) 【分析】（1）由题意得，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）根据，得到，根据勾股定理得到的长，进而得到即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，四边形和四边形均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形； (3)若，正方形的面积为40，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； (3)10 【分析】（1）由正方形的性质易得，，再由平角的定义得出，结合证得，最后利用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由正方形的性质易得，，则，，由线段的和差关系并等量代换得出，进而证得，则，那么，结合直角三角形的性质及平角的性质求得，利用平行线的判定定理证得，结合所得结论先证得四边形是平行四边形，再证得它是矩形，最后证得它是正方形即可； （3）结合正方形的性质利用勾股定理可求解，，再利用勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形的面积为40， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，．，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是矩形． (2)当满足 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点． ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， 又∵是的中点， ∴点是菱形对角线的交点， ∴，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，再推出，得到平行四边形是菱形，从而得到，即，即可证明； （2）当满足时，四边形是正方形，由当，得到平行四边形是矩形，此时菱形是正方形，可得，，从而可知，根据四边形是矩形，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）解：当满足时，四边形是正方形， 理由：如图所示，连接， 当时，即， ∴平行四边形是矩形，此时菱形是正方形， ∴，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 变式1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，请求出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； (2)2 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，推出平行四边形是菱形，由，可证明四边形是正方形； （2）利用正方形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为2． 变式2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，再结合，，可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴垂直平分， ∴． 变式3．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由三角形中位线的性质可得，即可求证； （）连接，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，进而证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用正方形的性质求角度、线段长、面积、正方形的判定专项训练 利用正方形的性质求角度、线段长、面积、正方形的判定专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求线段长 利用正方形的性质求面积 正方形的判定 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是正方形对角线上一点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别是正方形的边和上的一点，且是等边三角形，则的度数为________． 变式3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 考点二 利用正方形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，在正方形中作菱形，连接，若，，则正方形的边长为________． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，连接．若正方形的顶点在线段上，点，，在同一条直线上，则正方形的边长为_______． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，面积为8的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边、于E、F两点，则阴影部分的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2026·陕西宝鸡·二模）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 变式1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 变式3．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 考点四 正方形的判定 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 例2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，四边形和四边形均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形； (3)若，正方形的面积为40，求的长． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，．，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是矩形． (2)当满足 时，四边形是正方形． 变式1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，请求出四边形的面积． 变式2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 变式3．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $