黑龙江省佳木斯市第十一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一下期中考数学卷聚焦复数、向量、立体几何、解三角形，融入圆锥绣球、航海救援等真实情境，通过基础题到综合应用题的梯度设计，考查数学眼光、空间观念与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、向量夹角、直三棱柱外接球|第8题以圆锥绣球为模型，考查圆锥表面积，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|空间直线平面关系、复数性质|第10题辨析空间几何命题，培养逻辑推理意识| |填空题|3/15|向量投影、三角求值、三角形周长最值|第14题结合余弦定理求周长最大值，渗透数学思维| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、三棱锥表面积体积、航海距离计算|第19题航海救援问题，用数学语言表达现实世界，提升应用意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D C C C ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】依题意，， 所以复数的共轭复数为. 2．D 【分析】应用平面向量加法及减法运算. 【详解】. 3．B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 4．C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 5．D 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 6．C 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则， 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为， 解得． 7．C 【分析】利用条件先求出，再由向量数量积的定义即可求得两向量的夹角. 【详解】由可得，解得， 又由可得， 因，则，即与的夹角为. 8．C 【详解】设底面圆的半径为， 在等腰三角形中，由余弦定理： 代入，，，得： 即，解得。 圆锥表面积. 9．ACD 【分析】利用向量共线的坐标表示可判断A；利用向量数量积运算律，可计算判断B；利用向量数量积的定义，可计算判断C；利用平行向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由可得，化简可得，所以当是非零向量时，.但题中没有这个前提条件，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为，所以.故C正确； 对于D，如图， 由， 所以，， 则故D正确. 故选：ACD. 10．ABD 【分析】利用等角定理判断A；利用确定平面公理判断B；利用线面平行的定义判断C；利用线面位置关系判断D. 【详解】对于A，两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，A错误； 对于B，圆心与直径的两个端点不能确定一个平面，B错误； 对于C，，则直线l与平面没有公共点，C正确； 对于D，两条平行线中的一条与一个平面平行，另一条可能在平面内，D错误. 故选：ABD 11．BD 【分析】举例，，判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C．利用韦达定理计算判断选项D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，B正确； 令，，满足，但，故， 不能推出，故C错误． 已知是方程的两根，由韦达定理得， ，故D正确. 12． 【分析】先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量的长度即可. 【详解】由，所以， 所以，所以在方向上的投影向量的长度为. 13． 【详解】由已知， 所以 . 14．6 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以，解得. （2）因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 16．(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解. （2）利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，而， 则，因此，而， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理及， 得，而，所以，的面积. 17．(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 18．(1)平面，理由见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解； （2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）直线与平面平行，理由如下 如图所示， 取中点为，连接， 因为为的中点，为的中点， 所以. 又 ，，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形.则. 又平面，平面， 所以平面. （2）因为是等腰直角三角形，，为的中点. 所以,，， 因为平面平面，， 平面平面， 所以平面，平面，所以，， 又，所以平面， 所以点到平面的距离为，因为为的中点. 即点到平面的距离为， 因为为的中点，所以， 又因为四边形是直角梯形，，，， 所以 ， 所以四面体ODME的体积为 . 19．(1)海里 (2)小时 【详解】（1）在中，海里，， 由正弦定理，得，即， ，即. （2）如图，连接．在中，，，． 由余弦定理，得， ，． 故救援船到达点需要的时间为小时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯市第十一中学2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 6．在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9．下列说法中正确的是（ ） A．已知若则 B．若，则 C．则与的夹角正弦值为 D．在平行四边形ABCD中，则 10．下面命题不正确的是（    ） A．两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等 B．圆心和圆上两点确定一个平面 C．若，则直线l与平面内的所有直线都没有公共点 D．如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 11．已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 13．，则________. 14．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题 (15题13分，16题-17每题15分，18题-19题每题17分) 15．已知向量满足，且与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 16．在中，已知： (1)求角； (2)若，，求边及的面积． 17．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 18．如图所示，平面平面 是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点. (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求四面体的体积. 19．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． (1)求间距离； (2)该救援船到达D点需要多长时间？ 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $