黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 注重数学眼光、思维与语言的融合，以海洋蓝洞测量等真实情境为载体，通过分层设计（基础如复数运算、创新如动态几何探究）考查高一核心知识，适配期中教学评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、解三角形、立体几何、向量|第6题海洋蓝洞测量体现应用意识| |多选题|3/18|几何体定义、解三角形多解问题|第9题辨析棱柱棱台概念考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量投影、立体几何体积比|第13题四棱锥线面平行求参数考查空间观念| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、立体几何探究|第19题动态三角形问题考查创新意识|

大庆铁人中学2025级高一下学期期中 数学 试题答案 考试时间： 2026 年 6月 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期中数学试题答案 一、二选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B A D B D ABC BC AB 3． 填空题 12. 13. 14. 四．解答题 15. （13分）解：(1)当三向量两两夹角为0时，= 当三向量两两夹角为时，= （2）解：由，得， 又，解得，所以， 所以与的夹角. 16. （15分）解：（1），， （2），， 又因为 所以，. 17.解：（1）因为， 所以在中由正弦定理可得， 即,得， 又因为，所以，所以，又因为，所以. （2）因为，所以， 在中根据正弦定理可得，即． 又由余弦定理可得，即， 由，且，得， 即 ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为． 18.（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点，所以，且， 又，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面，所以平面； 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； 又面，则面面，又面， 所以面，所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 19. （12分）（1）由，， 则，，， 在和中，分别应用正弦定理可得，， 故，，所以， ，. 从而 ，从而为定值； （2）当，，则，，， 在和中，分别应用正弦定理可得，，， 故，， 所以， ，， ，. 令，，， 设，则，， 由，，，， 又在上单调递减，在上单调递增， 而当或2时，，当时，，所以， 因此. 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 铁人中学2025级高一下学期期中考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [o] [o] [0] 注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 答题前，请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] L21 [2] 2.客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] 3] [3] [3] 「31 [3] 涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] 「4] [4] [4] [4] 4 「4] 3.主观题使用黑色笔书写 必须在题号对应的答题区内作 [51 [5] [5] [5] [5] [51 [51 [5] 超出答题区书写无效。 [6 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 正确填涂■ 缺考标记口 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题911为多选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13 14. 解答题 15.(13分) 囚囚■ 第1页共6页 16.(15分) B M N 囚囚■ 第2页共6页 17.(15分) ■ 第3页共6页 逆9详逆嵬 囚■囚 ■ 0 8 N 0 8 N a 1 a a (LD)81 d ■ 9并s嵬 囚■囚 (LI)6I ▣ ■ 第6页共6页 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期中考试 数 学 2026.6 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．若复数满足(是虚数单位)，则的共轭复数＝( ) A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别为.则“”是“”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是( ) A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．平面向量与的夹角为，，，则等于( ) A． B． C．4 D． 5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥底面圆的半径为( ) A. B. C. D. 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为( ) A． B． C． D．（6题图） 7．已知中，为的外心，且．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 8．在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积比为( ) A． B． C． D．（8题图） 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中错误的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 10．已知的三个内角所对的边分别为， 且，则下列说法正确的是( ) A．若，且只有一解，则的取值范围为 B．若点在边上，为角的角平分线且长度为，则 C．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 D．的取值范围是 11．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面∥平面，则下列命题中正确的是( ) A．当时，平面（11题图） B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面图形为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________． 13．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为__________． 14.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则实数的最小值为_________． 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（13题图） 15. （本小题13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，，两两的夹角相等，且，，求； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 16. （本小题15分）如图，在中，已知，，， 边上的两条中线，相交于点.16题图 （1）求； （2）求的正弦值. 17．（本小题15分）已知的内角所对的边为，且． （1）求； （2）若，求面积的最小值． 18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， 且，点E为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得∥平面?若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面图形的周长．（18题图） 19. （本小题17分）如图，边长为2的等边三角形中，是边的中点，，分别是边，上的动点（不含端点），记. （1）在图①中，，试将，分别用含的关系式表示出来，并判断 是否为定值； （2）在图②中，，问此时是否为定值？若是，请给出证明；若不是， 求的取值范围． 图① 图② （19题图） 大庆铁人中学2025级高一年级下学期期中考试数学试题 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $