2026-2027学年初升高数学提前课+课时十一+基本不等式（一）

课时十一　基本不等式（一） 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 导入新课 (1)从第24届国际数学家大会的会标中得到一个重要不等式,这个不等式是什么? ∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立). (2)在重要不等式中,用代替a,代替b,可得到什么结论? 如果a>0,b>0,则a+b≥2,即(当且仅当a=b时,等号成立). (3)你是如何理解结论中“当且仅当”的含义的? 在a>0,b>0的前提之下,由 =可知a=b,反之,由a=b可知. 1. 探索与发现 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b),那么正方形的边长为.于是,4个直角三角形的面积之和为S1=2ab,正方形的面积为S2=a2+b2.由图可知S2>S1,即a2+b2>2ab. 精彩课堂 假设两个正方形的面积分别为a和b(a≥b>0),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗? . 不等式结论: 如果a>0,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立. 通常称这个不等式为基本不等式.其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 你能用文字语言表述这个不等式吗? 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.推理论证 问题1 你能对基本不等式进行证明吗? 证明:当a>0,b>0时,- = = -≤0, 所以 ≤(a>0,b>0). 显然,当且仅当a=b时,等号成立. 问题2 你能用不等式的性质证明不等式 ≤(a>0,b>0)吗? 要证 ≤,① 只要证2≤a+b.② 要证②,只要证2≤0.③ 要证③,只要证-( ____-____ )2≤0.④ 要证④,只要证(___ -____)2≥0.⑤ 显然,⑤成立,当且仅当a=b时,⑤中的等号成立. 分析法 a-b 问题3 在下图中, AB是圆的直径,点C是AB上一点, AC=a, BC=b.过点C作垂直于AB的弦 DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 如何把基本不等式中的量和图形中的线段建立联系? 问题3 在下图中, AB是圆的直径,点C是 AB上一点, AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 利用三角形相似发现: =CD,由于CD 小于等于圆的半径,用不等式表示为. 显然,当且仅当点C 与圆心重合,即当a=b时,上述不等式的等号成立. 故而再次得出:当a>0,b>0时,(当且仅当a=b时,等号成立). (1)基本不等式 (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． (2)当且仅当的含义： ①当a＝b时等号成立，即a＝b⇒ ； ②仅当a＝b时等号成立，即 ⇒a＝b. (3)基本不等式的常见变形 a＋b≥2；. 其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立． 例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问：这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短40m. 结论1.两个正数积为定值，则和有最小值——积定和小 例题探究 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问：这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2(x + y)= 36 , x+ y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 结论2.两个正数和为定值，则积有最大值——和定积大 例2、若 ,求的最小值. 解：当 时， 当且仅当x=,即x=1时，等号成立 变:若求的最小值 解：当 时， 当且仅当3x=,即x=2时，等号成立 变:若,求的最小值. 解：当 时， 当且仅当=时，等号成立 问:条件“a>0,b>0” 可以变化吗？ 可变为a<0,b<0 变:若,求的最小值. 解：当 时， 当且仅当x-3=,即x=4时，等号成立 例3、已知,求的最大值. 变式:已知,求的最大值. 解：由 得 当且仅当x =1-x,即x = 时，等号成立 解：由 得 当且仅当,即时，等号成立 1．已知x<0，则＋－2有(　　) A．最大值为0　　　　 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：∵x＜0， ∴－2＝－()-2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 答案：C 课堂练习 2．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25　　　B．　　　C．　　　D． 解析：a＞0，b＞0，a＋2b＝5， 则ab＝a·2b≤＝， 当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D. 答案：D 3．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．(填序号) ①；②a－b≥2； ③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析：根据≥ab，成立的条件判断， 知①②④错误，只有③正确． 答案：③ 小结： 学 习 目 标 核 心 素 养 1.知道基本不等式≤(a>0，b>0)的背景，能解释基本不等式成立的条件． 2.利用基本不等式求代数表达式最值． 数学运算：利用基本不等式求最值． $