课时十 等式性质与不等式性质 课件-2026年初升高数学提前课（人教A版必修第一册）

2．1　等式性质与不等式性质 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 ▶思路一 新闻报道:某日白天北京的最低温度为18 ℃,最高温度为30 ℃. 根据这则新闻,你知道某日白天北京的温度t ℃满足怎样的不等关系吗? t大于或等于18,小于或等于30. 导入新课 ▶思路二 阅读下面一段材料,回答问题. 在美国俄勒冈州尤金举行的2022年世界田径锦标赛男子跳远决赛中,王嘉男以最后一跳8.36 m 完成“绝地逆袭”,夺得金牌.这是中国男子跳远世锦赛上的第一枚金牌,也是中国田径史上第一个男子田赛世界冠军.这次比赛中亚军成绩为8.32 m,季军成绩为8.16 m.你能比较他们的成绩吗? 8.36大于8.32,8.32大于8.16. 精彩课堂 1.用不等式(或不等式组)表示不等关系 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40 km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%; 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2 000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 解：设提价后每本杂志的定价为x元， 则总收入为， 即： 解的，2.5, 所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元 2.两个实数大小关系的基本事实 问题3 如图,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B. 在这两个图中,点A和点B的位置与a,b的大小有什么关系? 图1中,点A在点B的左边,a<b;图2中,点A在点B的右边,a>b. 基本事实:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a<b.反过来也对. 这个基本事实可以表示为a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 等式有哪些基本性质? 性质1与性质2是从哪个角度反映等式的性质的?性质3,4,5是从哪个角度反映等式的性质的? 性质1,2反映了相等关系自身的特性,性质3,4,5是从运算的角度提出的,反映了等式在运算中保持的不变性. 1.探索与发现 类比等式的性质1,你能得到一个不等式的性质吗? 类比等式的性质2,你能得到一个不等式的性质吗? 你能证明不等式的性质2吗?用什么方法证明? 类比等式的性质3,4,5,你能猜想出不等式的哪些性质? 如何用文字语言描述这一性质? 不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向. 你能给出不等式的性质3的几何解释吗? 如图,把数轴上的两个点 A与B同时沿相同方向移动相等的距离,得到另两个点 A1与B1, A与B和 A1与B1的左右位置关系不会改变. 用不等式的语言表示,就是上述性质3. 运用这一性质得出如下结论: a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b. 你能用文字语言表述这一结论吗? 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 你能用文字语言表述性质4吗? 不等式两边同乘一个正数,所得不等式与原不等式同向; 不等式两边同乘一个负数,所得不等式与原不等式反向. 如何证明这一性质呢? 你能用作差法证明吗? 证明:因为a>b,c>d,所以a-b>0,c-d >0, 所以(a+c)-(b+d )=(a-b)+(c-d )>0,即a+c>b+d. 你还能用其他方法证明吗? 证明:因为a>b,所以a+c>b+c. 又因为c>d,所以b+c>b+d. 由不等式的性质2得a+c>b+d. 你能用不等式的性质证明这一性质吗? 需要利用哪些性质? 证明:因为a>b>0,c>0,所以由不等式的性质4可得ac>bc. 又因为c>d,b>0,所以由不等式的性质4可得bc>bd. 又由不等式的性质2得ac>bd. 如果a>b>0,c<d<0,那么有什么结论?你能证明吗? 结论:如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd. 结论:如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd. 证明:因为a>b>0,c<0,所以ac<bc. 又因为c<d ,b>0,所以bc<bd. 所以ac<bd. 利用性质6,你能得出性质7吗? 例题解析 考点一 利用不等式的性质证明不等式 例1、已知，求证： 证明：因为c＞a＞b＞0， 所以0＜c－a＜c－b，所以0＜＜， 即＞＞0，又因为a＞b＞0， 所以. 考点二　利用不等式性质求范围 例2、已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； 【解】　因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2. (2)求3x＋2y的取值范围． 【解】 由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. 变式：已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范围． 解：因为2＜b＜8，所以＜＜.又1＜a＜4， 所以1×＜a×＜4×，即＜＜2.所以的取值范围是 ＜2. 考点三　不等式的实际应用 例3、单位组织员工去参观，需包车前往．甲车队说：“领队若买一张全票，其余人可享受7.5折”；乙车队说：“你们属团体票，按原价8折优惠”甲乙车队原价、车型都一样，试根据单位要去的人数，比较哪家更优惠． 【解】　设该单位要去的职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x+x·(n－1)＝x＋xn， y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋xn－nx ＝x－nx＝x(1-)， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 课堂练习 1.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 2.某公司因发展需要，欲购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A. 答案：A 4．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小． 解：由题意， 知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3 ＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)， ∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， ∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0， 即x3－2y3>xy2－2x2y 5.若a，b，m都是正数，则不等式成立的条件是(　　) A．a＞b B．b＞a C．a＞m D．m＞b 解：由得＞0，即，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. 答案：B 变：若条件变为a>b>1呢？ 6.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋>b＋ B．a＋ ≥b＋ C．> D．b－>a－ 解：因为a>b>0，所以> >0，所以a＋>b＋ .故选A. 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等式与不等式的性质． 2.会运用不等式的性质判断命题的真假． 3.会用不等式的性质证明不等式． 1.数学抽象：等式、不等式的性质． 2.逻辑推理：用不等式的性质证明不等式或解决范围问题． 小结： 课 时 结 束 【解】　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2) ＝x2＋x＋1＝＋. 因为≥0，所以＋≥＞0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， 所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 【解】　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆， 则 $