6.3.2 角的比较与运算（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦角的比较与运算，系统梳理角的三种比较方法、和差关系、角平分线定义及性质、度分秒60进制运算规则与常见角度模型。课堂导入通过回顾线段比较的目测、度量、叠合方法，类比迁移至角的比较，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以几何直观与推理意识为核心，通过叠合法操作规范、角平分线几何语言表达及度分秒精准运算，培养学生空间观念。如无图多解模型引导分类讨论，角平分线嵌套问题强化逻辑推理，助力学生形成严谨思维。教师可利用高频易错点与专项练习提升教学效率，学生通过口诀总结与分层训练巩固知识。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 6.3.2 角的比较与运算 第六章 几何图形初步 人教版七年级数学上册6.3.2 角的比较与运算 专项练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 （一）角的三种比较方法 1. 目测法 直接观察角的开口大小，只适合差距明显的角度，做题仅作参考，不精准。 2. 度量法 用量角器分别量出两个角的度数，根据度数大小比较角的大小，度数大的角更大。 3. 叠合法（考试重点、规范方法） 将两个角的顶点重合、一条始边重合，另一条边落在重合边的同侧，通过终边位置判断大小： ① 终边重合 → 两角相等； ② 终边在内部 → 角度更小； ③ 终边在外部 → 角度更大。 （二）角的和差关系（几何识图核心） 若射线OC在∠AOB内部： $$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$$ $$\angle AOC=\angle AOB-\angle COB$$ $$\angle COB=\angle AOB-\angle AOC$$ 若射线OC在∠AOB外部，两角叠加得到大角。 （三）角平分线（本节必考核心） 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 若OC平分∠AOB，则有三组等价公式： $$\angle AOC=\angle BOC$$ $$\angle AOC=\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB$$ $$\angle AOB=2\angle AOC=2\angle BOC$$ 拓展：角三等分线、四等分线，可将角度平均分成多等份。 （四）度、分、秒的加减运算规则 1. 加法：度加度、分加分、秒加秒；满60进1。 2. 减法：度减度、分减分、秒减秒；不够减向前一位借1当60。 3. 全程遵循60进制，禁止100进制计算。 （五）常见角度模型 1. 共顶点多射线：从一点引出多条射线，有序找角的和差； 2. 平分线嵌套模型：大角包含小角，多次平分、逐层计算； 3. 无图多解模型：射线位置不确定，需要分类讨论（内部/外部）。 二、高频易错点汇总 1. 叠合法操作不规范：顶点不重合、边不同侧，判断角度大小出错。 2. 混淆角平分线条件：只看角度相等，忽略射线从顶点出发。 3. 度分秒加减不进退位：满60不进1、不够减不借位，习惯性用100进制。 4. 无图几何题默认一种情况，漏了射线在角外的情况，丢解。 5. 识图错误：分不清角的包含关系，和差公式写反。 6. 计算结果不化简：分、秒满60不进位，答案不标准。 三、专项练习题（总分100分，题型分值同步前文） （一）填空题（每空2分，共32分） 1. 比较角的大小常用三种方法：目测法、________、________。 2. 叠合法比较角时，必须保证________重合、一条边重合，另一条边在同侧。 3. 若OC在∠AOB内部，则∠AOB=________+________。 4. 从角的顶点出发，将角分成两个相等角的射线叫做________。 5. 若OC平分∠AOB，∠AOB=80°，则∠AOC=________°。 6. 角度计算进退位规则：满________进1，借1当________。 7. ∠1=35°20′，∠2=35°15′，则________更大。 8. 一个角被平分线平分后，每个小角是原角的________。 （二）选择题（每题3分，共30分） 1. 精准比较两个角大小的方法是（） A. 目测法 B. 叠合法、度量法 C. 随便判断 D. 以上都不对 2. 已知OC平分∠AOB，下列式子错误的是（） A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOB=2∠BOC C. ∠AOC=2∠AOB D. 正确 3. ∠A=25.5°，∠B=25°30′，则（） A. ∠A＞∠B B. ∠A＜∠B C. ∠A=∠B D. 无法比较 4. 角度加法计算进位规则是（） A. 满10进1 B. 满60进1 C. 满100进1 D. 无进位 5. 若∠AOB=60°，∠BOC=20°，且OC在角内，则∠AOC=（） A. 80° B. 40° C. 20° D. 60° 6. 下列说法正确的是（） A. 角平分线可以在角外 B. 角度越大开口越大 C. 角的大小与边长短有关 D. 度分秒是100进制 7. 18°15′换算成度为（） A. 18.15° B. 18.25° C. 18.5° D. 18.3° 8. 叠合法判断角大小的核心依据是（） A. 边的长短 B. 终边位置 C. 顶点位置 D. 摆放角度 9. 若一条射线平分直角，则每个小角为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 无图已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，∠AOC的度数为（） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30° （三）解答题（共38分） 1.（18分）度分秒四则运算 （1）$$25^\circ35'+42^\circ45'$$ （2）$$90^\circ-36^\circ20'$$ 2.（20分）角平分线经典大题（期末必考） 已知：∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数。 四、参考答案与详细解析 （一）填空题答案及解析 1. 叠合法、度量法。解析：数学精准比较两角大小的两种标准方法。 2. 顶点。解析：叠合法首要条件：顶点重合。 3. ∠AOC、∠COB。解析：角内部射线将大角分为两个小角之和。 4. 角的平分线。解析：角平分线标准定义。 5. 40。解析：$$80^\circ\div2=40^\circ$$。 6. 60、60。解析：度分秒60进制进退位规则。 7. ∠1。解析：20′＞15′，同度比分秒。 8. 一半（$$\dfrac{1}{2}$$）。解析：角平分线平分角度。 （二）选择题答案及解析 1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.C 解析：度分秒60进制；角平分线从顶点出发平分角度；无图必须分角内、角外两种情况讨论。 （三）解答题详细解析 1. 度分秒运算 （1）$$25^\circ35'+42^\circ45'=67^\circ80'=68^\circ20'$$ 解析：35′+45′=80′，满60进1，80′=1°20′。 （2）$$90^\circ-36^\circ20'=89^\circ60'-36^\circ20'=53^\circ40'$$ 解析：分不够减，从度借1当60′再计算。 2. 角平分线经典大题 解：∵ OC平分∠AOB，∠AOB=120° ∴ $$\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB=60^\circ$$ ∵ OD平分∠BOC ∴ $$\angle BOD=\dfrac{1}{2}\angle BOC=30^\circ$$ $$\angle AOD=\angle AOB-\angle BOD=120^\circ-30^\circ=90^\circ$$ 答：∠AOD的度数为90°。 五、本节万能解题总结 必背口诀 比角大小叠度量，顶点对齐边同向； 平分线出两角等，一半倍数要记详； 度分秒算六十进，不够借位满六上； 无图做题必双解，角内角外不慌张。 核心考点：角的比较、度分秒加减运算、角平分线计算、无图分类讨论大题（期末高频压轴）。 角的表示方法： ①大写英文字母 ②小写希腊字母 ③数字 O A B α 1 ∠AOB或∠BOA ∠α ∠1 A B C D 回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？ 方法一：目测法 方法二：度量法 方法三：叠合法 想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？ 3 O A B O' A' B' 方法一：目测法 ∠AOB＞∠A'O'B' 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ 知识点一 角的比较 方法二：度量法 ∠AOB＞∠A'O'B' O A B O' A' B' 70° 40° 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ 方法三：叠合法 O A B O' A' B' 将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ O A B （O'） （A'） B' O A B （O'） （A'） （B'） O A B （A'） （O'） B' ∠AOB＞∠A'O'B' ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' ①OʹBʹ在∠AOB内部 ②OʹBʹ在∠AOB外部 ③OʹBʹ与OB重合 O A B （O'） （A'） B' O A B （O'） （A'） （B'） O A B （A'） （O'） B' 两个角的三种大小关系： ∠AOB＞∠A'O'B' ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' 大于 小于 等于 知识点二 角的和、差 O A C B 思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？ ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和， 记作∠AOC=∠AOB+∠BOC； O A C B ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB=∠AOC－∠BOC； ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差， 记作∠BOC=∠AOC－∠AOB. O A C B 探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？ 90° 90° 60° 30° 45° 45° 画75°的角 75° 画15°的角 75°= 45°+30° 15°= 60°-45° 15°= 45°-30° 15° 15° 12 120° 105° 135° 150° 用类似的方法，小明同学画出了其它度数的角， 你知道他画出来的是多少度数的角吗？ 知识点三 角度的四则运算 加法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相加； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 减法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相减； ②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60. 例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数. A C O B 分析：AB是直线 ∠AOB=180° ∠AOB=∠AOC（已知）+∠BOC 即可得∠BOC的度数 例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数. A C O B 解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB=∠AOC+∠BOC， 所以∠BOC =∠AOB-∠AOC =180°-53°17′ =126°43′. 先将180°化为179°60′再进行减法运算 乘法： ①度、分、秒分别与倍数相乘； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 除法： ①度、分、秒分别与除数相除； ②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化. 例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 360°÷7 = 51°+3°÷7 =51°+180′÷7 ≈51°26′ 解： 答：每份是约51°26′的角. 知识点四 角的平分线 线段中点的定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点. 思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？ 角平分线的定义： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以OB平分∠AOC. （角的平分线的定义） 如图，因为 角平分线的性质： 因为OB平分∠AOC， 所以 ∠AOC＝2∠1＝2∠2. 注意：角平分线满足的三个条件 ①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分. 类似地，还有角的三等分线、四等分线等. 因为射线OB，OC是∠AOD的三等分线， 三等分线： 所以 . 因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线， 四等分线： 所以∠1=∠2=∠3=∠4= ∠AOE 探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？ 知识点1 角的大小比较 1. 在的内部任取一点，作射线 ，那么有( ) D A. B. C. D. 中考考法 26 2. 若，， ，则 ( ) A A. B. C. D. 【点拨】因为, , ， ， 所以 . 中考考法 27 3. 如图，由正方形组成的网 格中，点，，，， 是网格线的交 点，那么与 的大小关系是 ___.（填“ ”“ ”或“=”） （第3题） 【点拨】如图,取格点，连接 .易知 .因为 ，所 以 . 中考考法 28 4. 如图，两个三角形表示两块三角尺. 中考考法 29 （1）用叠合法比较与 ,与 的大小； 【解】如图所示，把两块三角尺叠在一起，可得 , 用同样的方法，可得 . （第4题） 中考考法 30 （2）量出图中各角的度数，并把图 中的6个角从小到大排列，然后用“ ”或“=”连接. 用量角器量出图中各个角的度数分别是 , , , , ,把它们从小到大 排列，有 . 中考考法 31 知识点2 角的和与差 5. 如图，一把直尺、两个含 角的三角尺拼接在一起，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 6. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不 能用一副三角尺直接画出的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 32 7. 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 中考考法 33 （3） ； . （4） . . 中考考法 34 8. 如图，已知 ， ，且求 的度数. 中考考法 35 【解】因为 , 所以设,则 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 ,解得 , 所以 . 中考考法 36 （第9题） 9. 如图，点表示养心殿所在位置，点 表示 太和殿所在位置，点 表示文渊阁所在位置.已 知养心殿位于太和殿北偏西 方向上，文 渊阁位于太和殿南偏东 方向上，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 中考考法 37 （第10题） 10. 利用一副三角尺比较 与 的大小，两角 顶点均与三角尺某一顶点重合. 已知图①中射线与 角 的一边重合，图②中射线 B A. B. C. D. 无法判断 与 角的一边重合，则下列判断正确的是( ) 中考考法 38 【点拨】由题图①可知， 角在 内，由题图②可 知，在 角内，所以 ， 所以 ，故选B. （第10题） 中考考法 39 （第11题） 11. 如图，已知 , ，现将射 线绕点顺时针匀速旋转，射线 , 保持不动，当射线与射线 重合 时停止旋转.当三条射线构成的角中有两 或 个角相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为___________. 中考考法 40 （第11题） 【点拨】三条射线构成的角中有两个角 相等（重合除外）时，可能存在以下两 种情形： ①当射线旋转到 外部时， ， 所以 .所以射线 旋转的角度为 .②当射线旋转到 内部时， 中考考法 41 ，所以射 线旋转的角度为 .综 上,射线旋转的角度为 或 . （第11题） 中考考法 12. 如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置， 那么 的度数为____. （第12题） 中考考法 43 （第12题） 【点拨】如图.易知 , ， ， 所以 . 中考考法 44 13. 日常生活中，我们几 乎每天都要看钟表，它的时针 和分针如同兄弟俩在赛跑，其 中蕴涵着丰富的数学知识. （1）如图①,上午8:00这一时刻，钟表上分针与时针的夹角 等于______. 中考考法 45 （2）请在图②中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置， 思考并回答：从上午8:00到 ,钟表的分针转过的度数是 ______,钟表的时针转过的度数是____. 中考考法 46 【解】如图. （第13题） 中考考法 47 【点拨】因为分针每分钟转 ,时针每分钟转 ,所以从上 午8:00到，分针转过的度数为 ,时针转过的度数为 . 中考考法 48 （3）“元旦”这一天，小明上午8:00出门买东西，回到家中时 发现还没到 ,但是时针与分针重合了，那么小明从离开家 到回到家用了多少分钟？ 中考考法 49 设小明从离开家到回到家用了 分钟. 由题意易得分针比时针多走了 , 所以,解得 . 所以小明从离开家到回到家用了 分钟. 中考考法 50 Lavf58.20.100 $