6.3.2 角的比较与运算（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“角的比较与运算”，涵盖角的大小比较、和差关系、60进制运算、平分线及模型等核心知识点。课堂导入通过类比线段长短比较的度量法与叠合法，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到角的比较方法。 其亮点在于运用类比思想建立线段与角的知识关联，培养几何直观；通过叠合法操作、三角尺画特殊角等活动发展空间观念；总结双角平分线模型及速记口诀，强化推理意识。例如用三角尺组合画出15°角，双角平分线模型固定结论助力解题。学生能理清知识脉络提升运算推理能力，教师可借助系统资源高效教学。

人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 6.3.2 角的比较与运算 第六章几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 知识点总结（满分版） 一、角的大小比较（三种方法） 1. 观察法 直接通过肉眼观察角两边张开的大小，只适合角度差距较大的角，仅作粗略判断。 2. 叠合法（几何标准方法、考试重点） 操作步骤：将两个角的顶点重合，一条边完全重合，另一条边落在重合边的同侧，根据另一边的位置判断大小。 ① 两边完全重合 → 两角相等 ② 另一边在内部 → 该角更小 ③ 另一边在外部 → 该角更大 ⚠️ 必须满足：顶点重合、一边重合、同侧摆放，否则比较无效。 3. 度量法 用量角器分别量出两个角的度数，度数越大，角越大。 核心结论：角的大小只与张开程度有关，与边的长短、图形位置无关。 二、角的和差关系（几何识图核心） 1. 基本和差模型 若射线$$OC$$在$$\angle AOB$$内部： $$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$$（和） $$\angle AOC=\angle AOB-\angle COB$$（差） $$\angle COB=\angle AOB-\angle AOC$$（差） 2. 多射线通用规律 大角可拆分为若干小角之和，小角可由大角减去剩余小角得到，做题优先先识图、再列式。 三、角度四则运算（60进制计算，必考计算） 1. 加减运算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：分、秒满60向前一位进1； 减法：分、秒不够减时，向前一位借1当60。 2. 乘除运算规则 乘法：度、分、秒分别相乘，结果满60逐级进位； 除法：从度开始除，余数化作下一级单位继续除，保留精度。 3. 经典例题示范 ① 加法：$$25^\circ30'+18^\circ40'=44^\circ10'$$ ② 减法：$$90^\circ-32^\circ15'=57^\circ45'$$ ③ 乘法：$$12^\circ20'\times3=37^\circ$$ ④ 除法：$$48^\circ36'\div2=24^\circ18'$$ 四、角的平分线（超级高频考点） 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 角平分线三大万能公式（必背） 若$$OC$$平分$$\angle AOB$$，则： ① $$\angle AOC=\angle BOC$$ ② $$\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB$$ ③ $$\angle AOB=2\angle AOC=2\angle BOC$$ 3. 角的n等分点 从顶点出发，将角平均分成$$n$$份的射线为$$n$$等分线； 常见：三等分线、四等分线，解题思路与平分线一致。 五、双角平分线模型（期末压轴必考） 1. 内部双平分模型 已知：$$OC$$为$$\angle AOB$$内任意射线，$$OM$$平分$$\angle AOC$$，$$ON$$平分$$\angle BOC$$。 ⭐ 固定结论：$$\angle MON=\frac{1}{2}\angle AOB$$ 规律：无论中间射线如何转动，两角平分线夹角恒为总角的一半。 2. 邻补角双平分模型 两个角互为邻补角，角平分线互相垂直，夹角为$$90^\circ$$。 六、尺规作图：作一个角等于已知角 核心原理：利用圆规截取等长线段，构造全等图形，得到等角。 考试要求：保留作图痕迹，不擦除圆弧，无需证明。 七、高频易错点（扣分重灾区） 1. 角度计算误用100进制，忘记60进制进退位。 2. 角平分线只会写等式，不会用二倍、一半关系列式计算。 3. 识图错误：分不清角在内部还是外部，和差关系写反。 4. 误认为“角度越大，角的边越长”（角度与边长无关）。 5. 双平分模型不会用固定结论，做题速度慢、步骤繁琐。 6. 减法借位出错：1°=60′，1′=60″，借位后忘记减1。 八、速记口诀 角比大小三方法，叠合度量观察它； 大角可拆小角和，60进制别搞错； 平分一角得两半，对半二倍灵活算； 双分模型有定值，总角一半稳得分。 经历比较角的大小的研究过程，体会角的大小比较和线段的长短比较的比较方法的一致性. 认识角的平分线，会角的相关计算. 通过动手演示比较角的大小，经历“观察一对比一归纳” 的学习过程，并培养动手操作能力及类比的数学思想. 2026年6月2日星期二8时41分29秒 课堂导入 问题 还记得怎样比较线段的长短吗？ ①度量法：用直尺测量，并比较. ②叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较. 线段 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 角 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 类比 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 度量法 55° 40° 1 2 因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2. 探究点1：角的比较与计算 叠合法 ∠1＞∠2. A B O (O' ) B' (A' ) A B O A B O 想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗 (两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )？ (O' ) B' (A' ) ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB =∠A'O'B' ∠AOB＞∠A'O'B' (O' ) (B' ) (A' ) 探究点1：角的比较与计算 观察与思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ A B ∠AOB ∠BOC 3个 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC O C ∠AOC 总结 共顶点，可加减. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB 探究点1：角的比较与计算 操作讨论：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角． 用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试． 还能画出 105°，120°，150°，180° 的角. 75° 15° 快来动手画一画吧！ 探究点1：角的比较与计算 【知识要点】 用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90° 角的和或差. 凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角. 探究点1：角的比较与计算 例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC = 53°17′，求∠BOC 的度数. A O B C 解：由题意可知，∠AOB 是平角，∠AOB =∠AOC +∠BOC. 所以∠BOC =∠AOB -∠AOC = 180° - 53°17′ = 126°43′. 探究点1：角的比较与计算 总结 ① 同单位加减 (度与度、分与分、秒与秒分别相加、减)； ② 度分秒是 60 进制 (相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60). 探究点1：角的比较与计算 【练一练】 1. 计算：(1) 120°－38°41′； (2) 67°31′＋48°49′. 解：(1) 原式＝81°19′. (2) 原式＝116°20′. 例2 (1) 如图①，若∠AOC = 35°， ∠BOC = 40°，则∠AOB = °. 75 (3) 若∠AOB = 60°，∠AOC = 30°， 则∠BOC = °. 90 或 30 (2) 如图②，若∠AOB = 60°， ∠BOC = 40°，则∠AOC = °. 20 探究点1：角的比较与计算 问题：你能在∠AOC 内找一条射线 OB，使∠AOB =∠BOC 吗？ A B O C 此时 ∠AOC = 2∠AOB = 2 ， ∠AOB =∠BOC = . ∠BOC ∠AOC 对折法 度量法 【点击跳转页面】 探究点2：角的平分线 仿照下图，你也试一试吧. 返回 探究点2：角的平分线 【定义总结】 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. A B O C 几何语言： 角平分线中的一个相反关系 如图，因为射线 OB 平分 ∠AOC， 所以 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC， ∠AOB =∠BOC = ∠AOC. 探究点2：角的平分线 类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？ A B O C D 因为射线 OB，OC 是 ∠AOD 的三等分线， 所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD， ∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD. 探究点2：角的平分线 例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线， OD 是∠COE 的平分线. (1) 如果∠AOC = 80°， 那么∠BOC 是多少度? (2) 如果∠AOB = 40°，∠DOE = 30°， 那么∠BOD是多少度? 解：(1) ∠BOC = ∠AOC = ×80° = 40°. A B O C D E (2) ∠BOC = ∠AOB = 40°， ∠COD = ∠DOE = 30°. 所以 ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 40° + 30° = 70°. 探究点2：角的平分线 例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线. (3) 如果∠AOE = 140°，∠COD = 30°， 那么∠AOB 是多少度? A B O C D E (3) ∠AOB = ∠AOC = (∠AOE－2∠COD) = (140°－60°) = 40° 探究点2：角的平分线 例4 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？ 答：每份是 51°26′ 的角. 总结 注意度、分、秒是 60 进制的，要把剩余的度数化成分． 解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180′÷7 ≈ 51°26′. 探究点2：角的平分线 （第1题） 1. ［2024广东］如图，一把直尺、 两个含 角的三角尺拼接在一起， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 20 2. 若， ， ，则( ) A A. B. C. D. 【点拨】因为 ，所以 ，所以 . 返回 考试考法 21 （第3题） 3. 如图，已知 , ,那么 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 22 4. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不 能用一副三角尺直接画出的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 23 5. 如图所示，由正方形 组成的网格中，点，，，， 是网 格线的交点，那么与 的大小 （第5题） 【点拨】如图,连接 ，由题意得 .因为 ，所 以 . 关系是___.（填“ ”“ ”或“ ”） 返回 考试考法 24 6.如图所示，两个三角形表示两块三角板. （1）用叠合法比较与 ,与 的 大小； （第6题） 【解】如图所示，把两块三角板叠在一起，可 得 ,用同样的方法，可得 . 考试考法 25 （2）量出图中各角的度数，并把图 中的6个角从小到大排列，然后用“ ”或“ ”连接. 【解】用量角器量出图中各个角的度数分别是 , , , , , 把它们从小到大排列，有 . 返回 考试考法 26 7.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） ； . 考试考法 27 （4） . . 返回 考试考法 28 8. 如图，点表示养心殿所在位置，点 表示 太和殿所在位置，点 表示文渊阁所在位置.已 知养心殿位于太和殿北偏西 方向上，文 渊阁位于太和殿南偏东 方向上，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 29 （第9题） 9. 如图，已知 , ，现将射 线绕点顺时针匀速旋转，射线 , 保持不动，当射线与射线 重合 时停止旋转.当三条射线构成的角中有两 或 个角相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为__________. 考试考法 30 （第9题） 【点拨】三条射线构成的角中有两个角 相等（重合除外）时，可能存在以下两 种情形：①当射线旋转到 的外 部时， .因为 , ,所以 .所以 .所以射线 旋转的角度为 当射线旋转到 内部时， 考试考法 31 .所以 ，所以射线 旋转的角度为 .综上, 射线旋转的角度为 或 . （第9题） 返回 考试考法 10.如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那 么 的度数为____. （第10题） 考试考法 33 【点拨】如图.易知 , ， ，所以 . 返回 考试考法 34 乘与除 加与减 角的运算 角的计算 角的和差倍分关系 角的平分线 角的比较 叠合法 度量法 角 课堂小结 $