1.5.1　全称量词与存在量词 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，通过学校团体操表演情境导入，引出“所有”“至少有”等短语，衔接生活实例与逻辑概念，系统梳理量词定义、符号及命题形式，结合自我诊断构建从情境到应用的学习支架。 其亮点是情境导入激发兴趣，典型例题分类与“通性通法”总结结合，培养数学抽象和逻辑推理。如真假判断用反例法，求参数范围转化为集合关系，分层练习助力学生提升，教师可直接使用，提高教学效率。

1.5　 全称量词与存在量词 新课程标准解读 核心素养 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量 词的意义 数学抽象、逻辑 推理 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1　 全称量词与存在量词 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开 幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高一年级； （2）至少有30名学生来自高一（1）班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和 “每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命 题称做什么命题？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” 等 符号 ∀ 全称量词命 题 含有 ⁠的命题 形式 “对 M 中任意一个 x ， p （ x ）成立”，可用符号简记 为“ ⁠” 全称量词　 ∀ x ∈ M ， p （ x ）　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有 元素都具有某种性质的命题； （2）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补 充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解 为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 目录 数学·必修第一册 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一 个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量 词命题 含有 ⁠的命题 形式 “存在 M 中的元素 x ， p （ x ）成立”，可用符号简记 为“ ⁠” 存在量词　 ∃ x ∈ M ， p （ x ）　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存 在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没 有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都 是存在量词命题. 目录 数学·必修第一册 1. 下列命题中为存在量词命题的是（　　） A. 所有的整数都是有理数 B. 每个三角形至少有两个锐角 C. 有些三角形是等腰三角形 D. 正方形都是菱形 解析： 　A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有 些”，故为存在量词命题. 目录 数学·必修第一册 2. 将命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写为全称量词命题为 ⁠ ⁠. 解析：命题“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立，故命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题为：对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立. 对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立　 目录 数学·必修第一册 3. 给出下列命题：①有些不相似的三角形面积相等；②∃ x ∈R， x2＋ 1＝0；③有一个实数的倒数是它本身.其中真命题的个数为 ⁠. 解析：只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相 似，故①为真命题；对∀ x ∈R， x2＋1≠0，故②为假命题；1和－1 的倒数是它本身，所以1和－1都满足条件，故③为真命题.故真命 题的个数为2. 2　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符 号“∀”或“∃”表示下列命题： （1）自然数的平方大于或等于零； 解： 是全称量词命题，表示为∀ x ∈N， x2≥0. 目录 数学·必修第一册 （2）存在实数 x ，满足 x2≥2； 解： 是存在量词命题，表示为∃ x ∈R， x2≥2. （3）有些平行四边形的对角线不互相垂直； 解： 是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不 互相垂直. （4）存在实数 a ，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大. 解： 是存在量词命题，∃ a ∈R，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大. 目录 数学·必修第一册 通性通法 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒　对省略量词的命题，可先将量词补充完整再做判断. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： （1）凸多边形的外角和等于360°； 解： 可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为 全称量词命题. （2）矩形的对角线不相等； 解： 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量 词命题. 目录 数学·必修第一册 （3）有些实数 a ， b 能使｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜； 解： 含存在量词“有些”，故为存在量词命题. （4）方程2 x －3 y ＝10有整数解. 解： 可改写为存在整数 x ， y ，使2 x －3 y ＝10成立.故为存 在量词命题. 目录 数学·必修第一册 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词 命题，并判断真假： （1）有的集合中存在两个相同的元素； 解： 是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命 题是假命题. 目录 数学·必修第一册 （2）∀ a ， b ∈R，（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）＝ a3＋ b3； 解： 是全称量词命题，∀ a ， b ∈R，（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）＝ a3－ a2 b ＋ ab2＋ a2 b － ab2＋ b3＝ a3＋ b3是真命题. （3）存在一个 x ∈R，使 ＝0； 解： 是存在量词命题，因为不存在 x ∈R，使 ＝0成 立，所以该命题是假命题. 目录 数学·必修第一册 （4）对任意直角三角形中的两个锐角 A ， B 都有 sin A ＝ cos B . 解： 是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可 知，对任意直角三角形的两个锐角 A ， B 都有 sin A ＝ cos B ，是真命题. 目录 数学·必修第一册 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 （1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命 题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要 判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合 M 中的一个 x0，使得 p （ x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反 例”）； （2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命 题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x0，使 p （ x0）成立即可； 否则，这一存在量词命题就是假命题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 （多选）下列命题判断为真的是（　　） A. 在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点 P B. 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 C. 至少有一个直角三角形不是等腰三角形 D. 存在一个实数 x ，使得方程 x2＋ x ＋8＝0成立 目录 数学·必修第一册 解析： 　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长 度为 ，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30° 的直角三角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程 x2＋ x ＋8＝0的判 别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根. 目录 数学·必修第一册 题型三 由含量词命题的真假求参数范围 【例3】　已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，且 B ≠⌀，若命题 p ：“∀ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，求 m 的取 值范围. 解：由于命题 p ：“∀ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题， 所以 B ⊆ A ，因为 B ≠⌀，所以 解得2≤ m ≤3.即 m 的取值范围为{ m ｜2≤ m ≤3}. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 1. （变条件）把本例中命题 p 改为“∃ x ∈ A ， x ∈ B ”，求 m 的取值 范围. 解： p 为真，则 A ∩ B ≠⌀，因为 B ≠⌀，所以 m ≥2. 所以或 解得2≤ m ≤4. 目录 数学·必修第一册 2. （变设问）把本例中的命题 p 改为“∀ x ∈ A ， x ∈ B ”，是否存在 实数 m ，使命题 p 是真命题？若存在，求出实数 m 的取值范围；若 不存在，说明理由. 解：由于命题 p ：“∀ x ∈ A ， x ∈ B ”是真命题， 所以 A ⊆ B ， B ≠⌀， 所以无解， 所以不存在实数 m ，使命题 p 是真命题. 目录 数学·必修第一册 通性通法 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的 关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求 参数的取值范围. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　若命题“∃ x ∈R， x2－4 x ＋ a ＝0”为真命题，求实数 a 的取值 范围. 解：∵命题“∃ x ∈R， x2－4 x ＋ a ＝0”为真命题， ∴方程 x2－4 x ＋ a ＝0存在实数根， 则Δ＝（－4）2－4 a ≥0，解得 a ≤4. 即实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤4}. 目录 数学·必修第一册 1. 下列命题是“∀ x ∈R， x2＞3”的另一种表述方法的是（　　） A. 存在一个实数 x ，使得 x2＞3成立 B. 有些实数 x ，使得 x2＞3成立 C. 对于任意实数 x ，都有 x2＞3成立 D. 至少存在一个实数 x ，使得 x2＞3成立 解析： 　“∀ x ∈R， x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全 称量词. 目录 数学·必修第一册 2. （多选）下列命题中是真命题的是（　　） A. ∃ x ∈R， x3＝3 B. ∃ x ∈R，3 x ＋1是整数 C. ∀ x ∈R，｜ x ｜＞3 D. ∀ x ∈Q， x2∈Z 解析： 　A是真命题，由 x3＝3得 x ＝ ，所以选项A为真命 题；B是真命题，当 x ＝1时，3 x ＋1＝4是整数；C是假命题，如 x ＝2时，｜ x ｜＜3；D是假命题，如 x ＝ ， x2∉Z. 目录 数学·必修第一册   解析：由题意可知（ ， ），（ ， ），（ ， ）等等都符 合题意. （ ， ）（答案不唯一）　 目录 数学·必修第一册 4. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并 判断真假： （1）存在一个实数，使等式 x2＋2 x －3＝0成立； 解： 存在量词命题.因为 x2＋2 x －3＝0，所以 x1＝－3， x2＝1，即存在－3或1，使等式 x2＋2 x －3＝0成立.所以该命 题为真命题. （2）每个二次函数的图象都与 x 轴相交. 解： 全称量词命题.如函数 y ＝ x2＋1的图象与 x 轴不相 交，所以该命题为假命题. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 下列命题中是存在量词命题的是（　　） A. ∀ x ∈R， x2＞0 B. ∃ x ∈R， x2≤0 C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等 解析： 　A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词 ∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全 称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B. 目录 数学·必修第一册 2. 设非空集合 P ， Q 满足 P ⊆ Q ，则下列表述正确的是（　　） A. ∀ x ∈ Q ，有 x ∈ P B. ∀ x ∈ P ，有 x ∈ Q C. ∃ x ∉ Q ，使得 x ∈ P D. ∃ x ∈ P ，使得 x ∉ Q 解析： 　因为 P ⊆ Q ，则由子集的定义，知 P 中的任何一个元素 都在 Q 中. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数 x ，使 x2≤0 C. 两个无理数的和必是无理数 解析： 　A是全称量词命题.B为存在量词命题，当 x ＝0时， x2＝ 0成立，所以B正确.因为 ＋（－ ）＝0，所以C为假命题.对 于任意一个负数 x ，都有 ＜0，所以D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 命题“有些负实数满足不等式（1＋ x ）（1－9 x ）＞0”用“∃”或 “∀”可表述为 ⁠. 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. ∃ x ＜0，（1＋ x ）（1－9 x ）＞0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知不等式 x ＋3≥0的解集是 A ，则使命题“∀ a ∈ M ， a ∉ A ”为 真命题的集合 M 是（　　） A. { a ｜ a ≥－3} B. { a ｜ a ＞－3} C. { a ｜ a ≤－3} D. { a ｜ a ＜－3} 解析： 　因为 x ＋3≥0，所以 A ＝{ x ｜ x ≥－3}.又因为对∀ a ∈ M ，都有 a ∉ A ，所以 a ＜－3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知下列命题：①∀ x ∈R， x2＋2＞0；②∀ x ∈N， x4≥1；③对任 意 x ， y ，都有 x2＋ y2≠0.其中真命题的个数为 ⁠. 解析：①由于∀ x ∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2＞0，即 x2＋2 ＞0，所以命题“∀ x ∈R， x2＋2＞0”是真命题.②由于0∈N，当 x ＝0时， x4≥1不成立，所以命题“∀ x ∈N， x4≥1”是假命题.③ 当 x ＝ y ＝0时， x2＋ y2＝0，所以是假命题. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知 M ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1}. （1）“∀ x ∈ M ， x ＋1＞0”是真命题，求实数 a 的取值范围； 解： “∀ x ∈ M ， x ＋1＞0”是真命题，即 a ＋1＞0， 解得 a ＞－1， 所以实数 a 的取值范围是 a ＞－1. （2）“∃ x ∈ M ， x ＋1＞0”成立，求实数 a 的取值范围. 解： “∃ x ∈ M ， x ＋1＞0”成立，即 a ＋1＋1＞0，解 得 a ＞－2， 所以实数 a 的取值范围是 a ＞－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 15. 已知“∀ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， m ＞ x ”和“∃ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， n ＞ x ”均为真命题，那么 m ， n 的取值范围分别是（　　） A. m ＞0， n ＞0 B. m ＞0， n ＞2 C. m ＞2， n ＞0 D. m ＞2， n ＞2 解析： 　由“∀ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， m ＞ x ”是真命题，可得 m ＞2；由“∃ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， n ＞ x ”是真命题，可得 n ＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $