1.5.1 全称量词与存在量词 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“全称量词与存在量词”核心知识点，通过概念填空与正误判断搭建学习支架，衔接逻辑知识基础，引导学生从量词含义切入，理解全称与存在量词命题的表述形式及本质。 资料亮点在于考点与题目精准对应，题型分层设计，通过判断、改写命题及参数求解等训练，帮助学生用数学语言精确表述问题，发展逻辑推理能力，培养数学思维与应用意识，提升学习效率与问题解决能力。

1.5.1全称量词与存在量词 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”． 【答案】， 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”． 【答案】， 【2】概念理解 判断正误． （1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( ) （2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( ) （3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( ) 【答案】 错误 正确 正确 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 判断命题是否为全称量词命题 1, 14，17 用全称量词改写命题 2, 15 判断全称量词命题的真假 3,9,10, 根据全称量词命题的真假求参数 4，11,12,18,19 判断命题是否为存在量词命题 5， 14,17 用存在量词改写命题 6，16 判断存在量词命题的真假 7，9,10, 根据存在量词命题的真假求参数 8，13，18,19 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案. 【详解】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2. 故选：D 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 4．使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题为真有求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即可. 【详解】要使为真命题，则只需，可得， 结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件. 故选：A 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 6．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 8．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 二、多选题 9．下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 【答案】AD 【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD； 【详解】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确； 对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误； 对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数， 所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误； 对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确； 故选：AD. 10．已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 11．已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论. 【详解】根据题意可知不等式恒成立， 可得，即. 因此实数的值可以是. 故选：ABD 三、填空题 12．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 13．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 14．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 【答案】 ①②③ ④ 【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题； ②含有全称量词“所有”，是全称量词命题； ③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题； ④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题. 故答案为： ①②③，④ 四、解答题 15．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 16．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 18．设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，计算即可得； （2）结合（1）中所得，再解出即可得. 【详解】（1）命题为真时，有，解得， （2）命题为真时，有，解得， 又命题为真时，，故都为真命题时，. 19．已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由已知可得，可得，求解即可. 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 因为，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1全称量词与存在量词 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”． 【2】概念理解 判断正误． （1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( ) （2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( ) （3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 判断命题是否为全称量词命题 1, 14，17 用全称量词改写命题 2, 15 判断全称量词命题的真假 3,9,10, 根据全称量词命题的真假求参数 4，11,12,18,19 判断命题是否为存在量词命题 5， 14,17 用存在量词改写命题 6，16 判断存在量词命题的真假 7，9,10, 根据存在量词命题的真假求参数 8，13，18,19 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 4．使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 6．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 8．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 10．已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 11．已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 三、填空题 12．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 13．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 14．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 四、解答题 15．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 16．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 18．设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围. 19．已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $