1.5.1 全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“全称量词与存在量词”，通过生活和数学实例导入，结合思维导图梳理知识结构，课前问题引导学生自主分析语句真假及量词含义，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于落实数学抽象素养，通过典例辨析命题类型与真假，结合集合关系解决参数范围问题，类题通法总结判断与求解策略。定向训练与学业达标题巩固，助力学生发展逻辑推理能力，教师可依托结构化资源高效开展教学。

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 素养目标 思维导图 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义(数学抽象). 课前自主学习 问题1.观察下列语句: ①对所有的x∈R,x>3; ②对任意一个x∈Z,2x+1是整数. (1)①②是命题吗?若是命题,判断真假. 提示:①是命题,假命题. ②是命题,真命题. (2)①②中的“所有”“任意一个”有什么含义? 提示:表示某个范围内的整体或全部. 问题2.观察语句①②:①存在一个x∈R,使3x+1=5;②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. (1)①②是命题吗?若是命题,判断其真假. 提示:是,都为真命题. (2)①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义? 提示:表示总体中“个别”或“一部分”. (3)你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗? 提示:某些,有的,有些. 【核心概念】 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“___”表示. (2)含有__________的命题叫做全称量词命题,通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),… 表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称量词命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符 号简记为“____________”. 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“___”表示. (2)含有__________的命题,叫做存在量词命题,存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x) 成立”,可用符号简记为“____________”. 全称量词 ∀ 全称量词 ∀x∈M,p(x) 存在量词 ∃ 存在量词 ∃x∈M,p(x) 课堂合作探究 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的概念及真假判断 【典例1】(1)(多选题)下列命题是存在量词命题且是真命题的是(　　) A.存在实数x,使x2+2<0 B.存在一个无理数,它的立方是有理数 C.有一个实数的倒数是它本身 D.每个四边形的内角和都是360° 【思维导引】本题考查命题的真假的判断,存在量词命题的判断,根据已知逐个判断各选项即可得出结果. 【解析】选BC.对于A.是存在量词命题,但不存在实数x,使x2+2<0成立,即为假命题,故A错误; 对于B,是存在量词命题,例如无理数,它的立方是2为有理数,故B正确; 对于C,是存在量词命题,例如1的倒数是它本身,为真命题,故C正确; 对于D,是全称量词命题,故D错误. (2)(2025·苏州高一检测)下列四个命题,其中真命题为 (　　) A.∃x∈R,x2+1<0 B.∀x∈R,x+|x|>0 C.∀x∈Z,|x|∈N D.∃x∈R,x2-2x+3=0 【解析】选C.对于A:由x2+1≥1恒成立,故该命题为假命题,故A错误; 对于B:当x=0时,x+|x|=0+0=0,故该命题为假命题,故B错误; 对于C:∀x∈Z,|x|∈N,故该命题为真命题,故C正确; 对于D:Δ=4-12=-8<0,故x2-2x+3=0无解,故该命题为假命题,故D错误. 【类题通法】 1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 一看:看命题中是否含有量词. 二辨:辨别量词是全称量词还是存在量词. 三断:若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题. (2)要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题. 【定向训练】 1.(2024·菏泽高一检测)下列语句中,是全称量词命题的是　　　　　,是存在量词命题的是　　　　.(填序号)  ①菱形的四条边相等; ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形; ③负数的立方根不等于0; ④至少有一个负整数是奇数; ⑤所有有理数都是实数吗? 【解析】①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题. 答案:①②③　④ 2.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假. (1)对任意实数m,方程x2-x+m=0有实根; (2)存在实数x0,使得=. 【解析】(1)∀m∈R,方程x2-x+m=0有实根; 由Δ=12-4m<0⇒m>,此时方程x2-x+m=0无实根,故该命题为假命题. (2)∃x0∈R,使得=;由=⇔3-6x0+5=0,Δ=(-6)2-4×3×5=-24<0,无实数解,故不存在x0∈R,使得=,因此该命题为假命题. 探究点二　由全称量词(存在量词)命题的真假确定参数的范围 【典例2】(一题多问) 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},回答下列问题. (1)若命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围. (2)若命题q:∃x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围. (3)若命题q:∃x∈A,x∈B是假命题,求m的取值范围. (4)若命题∀x1∈A,∃x2∈B,使得x1=x2是真命题,求实数m的取值范围. 【问题解读】(1)由命题p:∀x∈B,x∈A是真命题得B⊆A,再根据集合关系求解. (2)将题给条件转化为A∩B≠⌀,列不等式组即可求得实数m的取值范围. (3)由命题q:∃x∈A,x∈B是假命题得A∩B=⌀,再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. (4)先转化为A⊆B,再列出不等式. 【解析】(1)因为命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A, 当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;当B≠⌀时,则,解得2≤m≤3, 综上m的取值范围为{m|m≤3}; (2)因为q:∃x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠⌀,所以B≠⌀,则m+1≤2m-1即m≥2, 要使A∩B≠⌀,仍需满足m+1≤5,即m≤4.综上,实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}. (3)因为命题q:∃x∈A,x∈B是假命题,所以A∩B=⌀,当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2, 当B≠⌀时,则或,解得m>4, 综上m的取值范围为{m|m<2或m>4}. (4)因为∀x1∈A,∃x2∈B,使得x1=x2,所以A⊆B,则无解, 所以不存在实数m使命题为真命题. 【类题通法】应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类常见题型 (1)恒成立问题:全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题.全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质的值求解;也可以根据函数等数学知识来解决. (2)存在性问题:存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设. 【定向训练】 1.(多选题)若“∀x∈M,2-x<0”为真命题,“∃x∈M,x<0或x>4”为假命题,则集合M可以是(　　) A.{x|1<x<2} B.{x|3<x<4} C.{x|0<x<2} D.{x|2<x<3} 【解析】选BD.因为∃x∈M,x<0或x>4为假命题,所以∀x∈M,0≤x≤4为真命题, 可得M⊆{x|0≤x≤4}, 又∀x∈M,2-x<0为真命题,可得M⊆{x|x>2},所以M⊆{x|2<x≤4}.结合选项,B,D符合题意. √ √ 2.命题p:存在实数x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立.若命题p为真命题,求实数a的取值范围. 【解析】当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意;当a≠0时,由题意可得ax2+2x-1=0有实根,得Δ=4+4a≥0, 解得a≥-1,且a≠0. 综上可得a≥-1,即实数a的取值范围是{a|a≥-1}. 课堂学业达标 1.设非空集合M,N满足M∩N=N,则 (　　) A.∃x∈N, 有x∉M B.∀x∉N,有x∈M C.∃x∉M, 有x∈N D.∀x∈N,有x∈M 【解析】选D.因为M∩N=N,所以N⊆M, 所以∀x∈N,有x∈M. 2.下列命题是存在量词命题的是(　　) A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数x,使得x2<0 【解析】选D.A,B,C中命题的主语均泛指某一类事物,是全称量词命题.D中“存在”为存在量词,故D正确. √ √ 3.下列命题是全称量词命题的是　　　　(填序号).  ①每个四边形的内角和都是360°; ②任何等边三角形都全等; ③∀x∈Z,2x+1是整数; ④存在一个x∈R,使2x+1=3. 答案:①②③ 4.判断下列命题的真假. ①∃x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数; ③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数. 【解析】①∃x∈R,x≤0.正确;真命题. ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数,正确,例如数字1满足条件;真命题. ③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数,正确,例如x=π.真命题. 谢谢 $